一、统计套利模型的原理简介

统计套利模型是基于两个或两个以上具有较高相关性的股票或者其他证券，通过一定的方法验证股价波动在一段时间内保持这种良好的相关性，那么一旦两者之间出现了背离的走势，而且这种价格的背离在未来预计会得到纠正，从而可以产生套利机会。在统计套利实践中，当两者之间出现背离，那么可以买进表现价格被低估的、卖出价格高估的股票，在未来两者之间的价格背离得到纠正时，进行相反的平仓操作。统计套利原理得以实现的前提是均值回复，即存在均值区间(在实践中一般表现为资产价格的时间序列是平稳的，且其序列图波动在一定的范围之内)，价格的背离是短期的，随着实践的推移，资产价格将会回复到它的均值区间。如果时间序列是平稳的，则可以构造统计套利交易的信号发现机制，该信号机制将会显示是否资产价格已经偏离了长期均值从而存在套利的机会 在某种意义上存在着共同点的两个证券(比如同行业的股票)， 其市场价格之间存在着良好的相关性，价格往往表现为同向变化，从而价格的差值或价格的比值往往围绕着某一固定值进行波动。

二、统计套利模型交易策略与数据的处理

统计套利具体操作策略有很多，一般来说主要有成对/一篮子交易，多因素模型等，目前应用比较广泛的策略主要是成对交易策略。成对策略，通常也叫利差交易，即通过对同一行业的或者股价具有长期稳定均衡关系的股票的一个多头头寸和一个空头头寸进行匹配，使交易者维持对市场的中性头寸。这种策略比较适合主动管理的基金。

成对交易策略的实施主要有两个步骤：一是对股票对的选取。海通证券分析师周健在绝对收益策略研究—统计套利一文中指出，应当结合基本面与行业进行选股，这样才能保证策略收益，有效降低风险。比如银行，房地产，煤电行业等。理论上可以通过统计学中的聚类分析方法进行分类，然后在进行协整检验，这样的成功的几率会大一些。第二是对股票价格序列自身及相互之间的相关性进行检验。目前常用的就是协整理论以及随机游走模型。

运用协整理论判定股票价格序列存在的相关性，需要首先对股票价格序列进行平稳性检验，常用的检验方法是图示法和单位根检验法，图示法即对所选各个时间序列变量及一阶差分作时序图，从图中观察变量的时序图出现一定的趋势册可能是非平稳性序列，而经过一阶差分后的时序图表现出随机性，则序列可能是平稳的。但是图示法判断序列是否存在具有很大的主观性。理论上检验序列平稳性及阶输通过单位根检验来确定，单位根检验的方法很多，一般有DF，ADF检验和Phillips的非参数检验（PP检验） 一般用的较多的方法是ADF检验。检验后如果序列本身或者一阶差分后是平稳的，我们就可以对不同的股票序列进行协整检验，协整检验的方法主要有EG两步法，即首先对需要检验的变量进行普通的线性回归，得到一阶残差，再对残差序列进行单位根检验，如果存在单位根，那么变量是不具有协整关系的，如果不存在单位根，则序列是平稳的。EG检验比较适合两个序列之间的协整检验。除EG检验法之外，还有Johansen检验，Gregory hansan法，自回归滞后模型法等。其中johansen检验比较适合三个以上序列之间协整关系的检验。通过协整检验，可以判定股票价格序列之间的相关性，从而进行成对交易。

Christian L. Dunis和Gianluigi Giorgioni（2010）用高频数据代替日交易数据进行套利，并同时比较了具有协整关系的股票对和没有协整关系股票对进行套利的立即收益率，结果显示，股票间价格协整关系越高，进行统计套利的机会越多，潜在收益率也越高。

根据随机游走模型我们可以检验股票价格波动是否具有“记忆性”，也就是说是否存在可预测的成分。一般可以分为两种情况：短期可预测性分析及长期可预测性分析。在短期可预测性分析中，检验标准主要针对的是随机游走过程的第三种情况，即不相关增量的研究，可以采用的检验工具是自相关检验和方差比检验。在序列自相关检验中，常用到的统计量是自相关系数和鲍克斯-皮尔斯 Q统计量，当这两个统计量在一定的置信度下，显著大于其临界水平时，说明该序列自相关，也就是存在一定的可预测性。方差比检验遵循的事实是：随机游走的股价对数收益的方差随着时期线性增长，这些期间内增量是可以度量的。这样，在k期内计算的收益方差应该近似等于k倍的单期收益的方差，如果股价的波动是随机游走的，则方差比接近于1；当存在正的自相关时，方差比大于1；当存在负的自相关是，方差比小于1。进行长期可预测性分析，由于时间跨度较大的时候，采用方差比进行检验的作用不是很明显，所以可以采用R/S分析，用Hurst指数度量其长期可预测性，Hurst指数是通过下列方程的回归系数估计得到的：

Ln[(R/S)N]=C+H*LnN   

R/S 是重标极差，N为观察次数，H为Hurst指数，C为常数。当H>0.5时说，说明这些股票可能具有长期记忆性，但是还不能判定这个序列是随机游走或者是具有持续性的分形时间序列，还需要对其进行显著性检验。

  无论是采用协整检验还是通过随机游走判断，其目的都是要找到一种短期或者长期内的一种均衡关系，这样我们的统计套利策略才能够得到有效的实施。

进行统计套利的数据一般是采用交易日收盘价数据，但是最近研究发现，采用高频数据（如5分钟，10分钟，15分钟，20分钟收盘价交易数据）市场中存在更多的统计套利机会。日交易数据我们选择前复权收盘价，而且如果两只股票价格价差比较大，需要先进性对数化处理。Christian L. Dunis和Gianluigi Giorgioni（2010）分别使用15分钟收盘价，20分钟收盘价，30分以及一个小时收盘价为样本进行统计套利分析，结果显示，使用高频数据进行统计套利所取得收益更高。而且海通证券金融分析师在绝对收益策略系列研究中，用沪深300指数为样本作为统计套利配对交易的标的股票池，使用高频数据计算累计收益率比使用日交易数据高将近5个百分点。

三、统计套利模型的应用的拓展—检验资本市场的有效性

Fama(1969)提出的有效市场假说，其经济含义是:市场能够对信息作出迅速合理的反应,使得市场价格能够充分反映所有可以获得的信息,从而使资产的价格不可用当前的信息进行预测,以至于任何人都无法持续地获得超额利润.通过检验统计套利机会存在与否就可以验证资本市场是有效的的，弱有效的，或者是无效的市场。徐玉莲(2005)通过运用统计套利对中国资本市场效率进行实证研究，首先得出结论：统计套利机会的存在与资本市场效率是不相容的。以此为理论依据，对中国股票市场中的价格惯性、价格反转及价值反转投资策略是否存在统计套利机会进行检验，结果发现我国股票市场尚未达到弱有效性。吴振翔，陈敏（2007）曾经利用这种方法对我国A股市场的弱有效性加以检验，采用惯性和反转两种投资策略发现我国A股若有效性不成立。另外我国学者吴振翔，魏先华等通过对Hogan的统计套利模型进行修正，提出了基于统计套利模型对开放式基金评级的方法。

四、结论

统计套利模型的应用目前主要表现在两个方面：1.作为一种有效的交易策略，进行套利。2.通过检测统计套利机会的存在，验证资本市场或者某个市场的有效性。由于统计套利策略的实施有赖于做空机制的建立，随着我股指期货和融资融券业务的推出和完善，相信在我国会有比较广泛的应用与发展。

套利是股指期货投资方式中常见的一种。相比之下，投机的风险比较大，套期保值的出发点是为了规避现货市场的损失，根本上就是一个零和博弈，无法获得最大收益。而套利的收益则是独立于市场的，它无需关心市场的涨跌便能获得稳定的收益，而且波动性相对较小，这使得套利逐渐成为被关注的重要投资方式。

由于期现套利涉及到现货头寸的构建，实施起来较为复杂，所以本文主要集中研究跨期套利的时机和概率。总体上而言，无论是跨期套利还是期现套利，它们的思想无外乎是利用差价的波动构建资产组合得以规避单一资产的过大风险，从而制定相应的买卖策略，最终获得稳定的收益。
传统的跨期套利中投资者需要预期价差（spread）的走势来建立套利头寸，在主观性的影响下这种方法局限性很大。所以我们尝试用统计套利（Statistical Arbitrage）的方法发现价差的稳定性以及变量间的长期均衡关系，用实际的价格与数量模型所预测的价值进行对比，制定统计方法下相对客观的跨期套利策略。本文选取广泛应用的协整统计方法。

一、协整方法介绍

期指定价模型而知，不同合约的走势都是基于对未来标的指数的预期产生的，除了持有成本带来的合约价差外还有一些非合理的因素，从长期来看同一标的的各合约价格之间存在着这样一种平稳关系。协整概念便是处理非平稳时间序列的较好统计方法，如果一个时间序列经过平稳性检验发现是非平稳性的，那么对其进行差分消除非平稳的因素使得其成为平稳序列，这个过程就是时间序列的单整过程。
协整关系反映变量之间的长期均衡关系，变量间存在协整关系是建立在单整过程基础上的，即变量序列本身是非平稳的，而且变量之间具有相同的单整阶数。其中涉及的时间序列的平稳性检验，可以通过ADF单位根检验来实现，协整关系可以用EG检验或Johansen协整检验进行。当确定协整关系之后便可以对价差序列进行统计分析来确定适宜的交易策略。

二、统计套利方法在跨期套利中的应用

1.数据
本文选取沪深300仿真期指作为研究对象，旨在探索未来期指上市初期跨期套利机会的把握。由于单张合约连续存续的时间较短，我们选择近季月合约IF0803和远季月合约IF0806为跨期套利研究对象，时间段选为2007年10月22日到2008年3月14日，在该阶段内以上两个合约为主力合约，成交量较为活跃。
在数据频率的选取上，我们分别采用了日内收盘数据和日内1小时数据进行相关性检验，日数据的相关系数为0.9666，而1小时数据的相关系数略胜一筹为0.9667。日数据的样本个数为98个，1小时数据为588个，在样本数量上1小时数据能够基本满足协整方法长期趋势的需要，故选择IF0803和IF0806在该阶段内的1小时数据作为样本数据进行研究。
图1 样本阶段内期指合约和价差序列的表现

　　
图2 样本阶段内合约标的指数——沪深300指数的市场表现

        　　 2.协整关系检验

        首先对IF0803和IF0806的序列进行对数化处理，进行平稳性检验我们采用ADF检验的方法，具体结果如表1。根据T检验的值，发现两个时间序列的合约存在单位根，都是I(1)平稳序列，可能存在协整关系。本文采用EG检验来检验协整关系。对两个序列进行OLS回归得出残差序列，并对残差序列进行平稳性检验。经过模型yt=?琢+?茁xt+?着t的回归和单位根检验结果显示，拒绝原假设，残差序列也为平稳的。因此，两个变量之间存在协整关系。
        然后通过对对数序列的回归得出套利组合的比例为1：0.946767，即价差为：Spread=0.946767×IF0806 - IF0803。由于合约数量均以整数计算，所以组合的比例约等于1：1，即卖出1手IF0806合约的同时买入1手IF0803合约，或者买入1手IF0806合约的同时卖出1手IF0803合约。
        表1 单位根检验的结果

        　　 3.交易策略的制定

        由协整检验的结果我们得到价差分布序列Spread，此序列表明了IF0803和IF0806合约之间的差距水平，所以可以根据对价差的分析来构建跨期套利的交易策略。
        图3 对数化价差序列的基本统计数据

        　　 根据Eviews的统计测算得出价差序列的基本统计数据，为了便于序列数据集中化，我们根据价差序列均值mean的结果将Spread中心化，即令MSspread = Spread – mean。
        图4 价差中心化时间序列图

        　　 跨期套利中价差分析最重要的便是分析套利出现的时机和概率。首先我们要确定套利区间。我们采纳国外学者在计量方法分析中的±3/4标准差为交易上下边界，由于统计检验的结果得出我们的价差序列确实是一个白噪声序列，那么此交易上下边界确实可以设为±3/4×σ（其中σ=0.127）。而我们仍需设定平仓的最大区域，文中以±2σ为平仓上下限。
        具体的跨期套利交易策略制定为：

① 当MSspread<-3/4×σ时，买入1张IF0806合约的同时卖出1张IF0803合约；当MSspread > +3/4×σ时，卖出1张IF0806合约的同时买入1张IF0803合约。
② 建立套利的头寸后，当价差序列如预期回归到±3/4×σ区间时进行反向操作获利了结，完成一次正向或反向跨期套利。此策略依据修正价差偏离程度的原则，当价差序列在一定范围内减小时采取买远抛近来修正其不合理定价，反之亦然。
③ 当建立头寸后，如果MSspread没有如期回归至标准差区间。为此我们设定了平仓上下限，即当价差触发±2σ以外的区域时，多头头寸或空头头寸立即平仓止损。该策略是基于止损的交易策略，为了避免过大的波动风险。
        以上的交易策略是在对价差序列深度分析的基础上进行的跨期套利时机选择的投资策略。为此我们绘制了跨期套利时机图，具体如图5。
        下面根据套利样本区间内的实证情况分析套利机会出现的概率和收益表现。具体结果如表2。
        图5 基于统计方法制定的跨期套利交易时机图

        　　 表2 套利样本区间内的实证套利结果

        　　 从表2中我们可以发现，依据协整模型建立的跨期套利交易策略取得了94.03%的成功率，在全部67次套利交易中只有4次是失败的，在图5中我们可以看出这几次的交易失败是由于价差的瞬间巨大波动造成的，由于价差波动触及止损的±2σ边界平仓而造成了损失。可见止损边界抑或交易边界设置的严格或宽松对套利交易的成功率起到至关重要的作用。

        跨期套利的次数占全部交易次数的10.71%，这一点基于前学者的一些结论总结起来看，一般跨期套利的概率均在总样本期间的10%左右，套利的机会并不多，但是抓住1/10的套利机会便会获得超额收益。对于收益表现的估算上，我们估算得到平均每笔套利的价差为30点，（以仿真期指的保证金为10%来估计），双向建立合约头寸所需要的资金约为30×2×5540.92×10%=332455.2，由于期指交易的手续费为单向0.03%，故双向建立合约的全部手续费为0.12%，另有4次平仓损失计算每次带来成本0.02%，最终估算出每次套利的收益率为0.71%左右，整体的套利组合阶段收益率为44.55%。这里值得注意的是保证金水平也决定了最终套利收益率的高低，如果保证金水平提高那么该统计套利下的收益率会有所减少。
        最后我们将协整方法下建立的跨期套利组合的收益率，同现指市场和单一期指合约的收益进行对比。在本文样本区间内，沪深300指数累积收益率为-24.47%，由此可见在股票市场波动调整的阶段，股指期货作为规避风险以及盈利的衍生投资工具的重要性。另外，虽然单向投机使得此两个期指合约的累计收益率比组合套利的收益率高，但实际情况中对赌要承担很高的风险，而且涉及到保证金要十分充足才能保证头寸。相比之下，我们建立的跨期套利组合是在不关心市场涨跌的情况下进行的投资策略，无论在什么市场行情下都能保证一定的投资收益，市场波动性和风险性都较小。

        三、总结

        本报告介绍了同传统的股指期货跨期套利思想完全不同的一种套利新思路，那便是利用协整关系从统计套利的角度构建不同合约之间的长期均衡关系。协整方法使得价差序列的分析更加客观化，从而制定相对稳健的交易策略。跨期套利最大的特点就是无需对市场的情况进行判断就可以获得收益，并且主要对价差序列的数据进行深度分析，根本上是利用价差序列在短期内的资产定价偏离的修正过程而产生的对冲交易。
        此外仍有一些值得思考的地方。我们选取的是样本内数据建立的数量模型，在数据发生变化下无法及时反映变量之间的关系，所以需要及时更新高频数据。本文选取的是1小时数据，也可选择5分钟数据进行跨期套利策略效果的对比。该高频率的套利策略实施需要程序化交易来协助进行，对于程序化交易的发展仍需进一步研究。另外，文中提到的影响套利效果的几个因素，例如：选取不同的标准差倍数、频繁的套利交易带来的交易成本大小、指数期货合约的保证金规模等都对跨期套利组合的收益大小起到了至关重要的作用。对于即将正式登陆市场的沪深300指数期货，上市初期各合约定价偏差较大，本文的研究对于套利机会的挖掘和分析有一定的指导作用，上面指出的影响协整方法下的跨期套利效果的因素，需要在进一步探讨的过程中加以研究和改进。