u《傅种孙几何作图思想探析——纪念傅种孙先生诞辰120周年》

——张彩云，代钦（内蒙古师范大学科学技术研究院）

一、傅种孙生平及主要贡献

二、傅种孙的几何作图思想

１.傅种孙几何作图研究成果简介

《初级混合数学》，《高中平面几何》，《几何基础研究》，《作图漫谈》。

（１）几何作图是数学基础中必不可少的内容；

（２）几何作图的主要内容集中于作图题与存在问题、作图方法、作图工具、正方形作图和尺规作图不能问题；

（３）对象不同，涉及几何作图的理论深度不同；

（４）对于作图方法，主要介绍8种：拼合法、造因法、三角形奠基法、迁移法、放大法、分析法与辅助线、代数分析法、轨迹交点法；

（５）对于作图工具，谈到了尺规作衅、直尺作图、直尺及一、二无穷远点作图、直尺及迁线器作图、直尺和一个圆心的定圆作图、直尺与铜圆作图；

（６）正多边形作图和尺规作图不能问题。

２.傅种孙几何作图个案赏析

知二边及一对角，求作三角形。

３.傅种孙几何作图思想特点

（１）强调对几何作图本质的认识；

（２）注重几何作图对数学逻辑思维能力的培养

u《学会用数学的方式解读内容设计教学——以“相交线”为例》

——章建跃（人民教育出版社）

教师要从“理解数学”入手设计教学，从“研究一个数学对象”的角度思考和设计教学过程，在研究对象有抽象、研究内容的明确、研究思路的构建、研究方法的引导上下功夫。

只有以“何由以知其所以然”为定向，把数学的“思维之道”——数学地认识和表达事物的思想方法阐释清楚，也就是要把内容所蕴含的数学思维方式解读出来，才能看清楚教学内容的育人价值，才能为“教思维”、“使学生学会数学地思考”奠定基础。

每一种几何图形或图形关系的教学，我们都应该以“研究一个几何对象的基本套路”为指导，设计出体现数学的整体性、逻辑的连贯性、思想的一致性、方法的普适性、思维的系统性的系列化数学活动，引导学生通过对现实问题的数学抽象获得数学对象，构建研究数学对象的基本路径，发现值得研究的数学问题，探寻解决问题的数学方法，获得有价值的数学结论，建立数学模型解决现实问题。

u《合理设计教学过程　发展学生核心素养——以“零指数幂、负指数幂”为例》

——石志群（江苏省泰州市教研室）

 “用数学眼光观察世界，用数学思维分析世界，用数学语言表达世界”既是数学核心素养的表现形式，更是发展学生核心素养的基本路径。

一、一个案例

１.用数学的眼光看世界

２.用数学的思维分析世界

３.用数学的语言表达世界

二、几点思考

教学设计既要符合数学的发展规律和内在联系，还要符合数学的研究规范，更要符合学生的答知规律和心理倾向，绝不能让教师的“权威”替代了数学的理性：数学中的“规定”不是随意的，它需要有数学赋于的权利，也要有现实的合理性，还要符合数学内部的和谐一致。

u《“平面”教学设计的理性突围——兼谈原始概念的教学》

——胡浩（安徽省芜湖市沈巷中学）

一、作图教学中产生的困惑

不重视“平面”的概念教学，只展开告知式教学，过高地估计学生的原有认知基础，导致后续的作图教学遇到瓶颈。

二、平面的意象和认知基础

三、传统教学设计及其弊端

学生得到的只是静态的、僵化的、没有迁移能力和发展潜力的知识，不能真正突破平面无限延展性的“围堵”。

“平静的水平”、“光滑的桌面”等物象，只能形成学生平面“平”的形象，不能形成学生平面“无边”的意象。

教材中，：用“平行四边形表示平面”的说法不妥，应调整为“用平行四边形表示平面的局部”。

四、创新设计实现理性突围

傅里叶对平面的定义：平面由经过直线上一点且与直线垂直的所有直线构成。

利用多媒体技术，添加数学史素材，激发学生的形象思维和抽象思维；有效化解“无限延展性”的学习障碍，实现由平面意象到平面形象，再到平面意境，直到平面概念的精准落地与华丽转身。

五、原始概念教学价值取向

概念是数学的桩基。要从总体上理解数学，必须要构建概念的结构体系，结构体系不仅是知识之间的链接，也是数学知识与学生认知之间的链接。核心概念的教学既要解构也要建构，解构为的是教师把握数学的本质；建构为的是帮助教师将数学传授给学生。这是建立结构体系的两个基石。

原始概念的教学，其模式一般有两种：一是基于学科本身，围绕“教”而谋；一是基于教育对象，围绕“学”而做。

从课程的角度看，概念教学要厘清其“前世今生”，探究的内容要有价值，要贴近学生，利于学习；从教学的角度看，要搞清楚学生在形成概念，吸纳知识、方法和思想时，可能的困惑点及其成因；从教师的角度看，完成概念教学要有哪些知识储备，具备哪些专业素养、教学技术和教育艺术，教师要先知先觉，胸有成竹。

u《数学开放性教学的实践与反思——《心在何处》课堂教学实录与反思》

——孙红强（中国人民大学附属中学朝阳学校）

开放性教学是一种新的教学思想指导下的教学模式，教师的注意力集中到创设情景，设计问题，为学生思考、探索、发现和创新提供最大的空间，不对学生预先设置任何框框，学生既有独立思考的个体活动，又有学生之间、师生之间的合作，讨论、交流的群体活动，在宽松、民主的教学环境中促进学生主体精神、创新意识和创新能力的健康发展。

u《让学生重组已有经验研究多边形中的角度求解问题》

——陈林香（浙江省台州市椒江区第二中学）

利用几何要素构造多边形，用几何画板工具，设计图开变化情境下的变式教学，系统研究多边形背景下的角的关系。

基于运动变化，以基本图形为线索，揭示图形联系，把握图形本质。

u《谬误已成觅果因——一道中考数学题的探究与课后反思》

——宋永明，刘彦（山东省东营市胜利第一中学）

有效的变式，可以增加不少的色彩，但同时必须考虑知识的逻辑顺序，不能为了变式而变式。

u《让等腰三角形教学更有几何味》

——刘东升（江苏省海安市城南实验中学中学）

研究第十届初中青年数学教师优秀课展示中的两节课，提出自己的看法。

一、青优展示课课例概述

二、评课与商榷

１.辨识学段，别让操作实验的“生活味”冲淡了理性证明的“几何味”；

２.知易行难，“定义、性质、判定”的学习脉络没有得到很好的贯彻；

３.聚焦细节，在两个课堂细节处看教学难点的理解仍然有待深入；

（１）证明命题“等边对等角”的真正难点在哪儿？

（２）例题教学时的设问显示教师命题基本功还有待修炼。

u《设计有价值的问题　促进学生自主建构——以“两角和与差的余弦”为例》

——许兴震（江苏省邗江区教育局教研室）

体验、揭示知识发生、发展的的过程，帮助学生自主建构认知体系，促进学生思维能力的发展，是数学概念（公式）教学的核心任务。

“问题引领，自主建构”数学教学模式：教师通过重构教材内容，设计有价值的问题（串），引领学生开展深度思维，突破自主建构的瓶颈。

一、教学案例

创设情境，提出问题：按照教材的编写思路、知识的逻辑顺序和学生的认知规律，设计问题串，对教材创设的问题情境进行重构，使学生在问题情境中产生认知冲突，发现和提出问题，从而激发学生积极思维的动机和探索问题的欲望。

问题２　如何研究？教材在今天研究三角函数与上次研究三角函数之间安排了第２章平面向量，这说明了什么呢？

意图　　教材中的情境设计是由求两个向量的数量积引入的，并未直接回答学习新知识的必要性，也未解释为何要把向量的数量积作为新知识的“生长点”，教师要分析学生在自主建构过程中可能出现的难点并将其梳理出来，通过设计针对性的问题，揭示出知识“发生”的背景和生成新知识的“生长点”，也为学生开展探究活动提供研究的方向和研究方法。

（两角和与差的知识背景是什么？什么是该知识的生长点？难道是源于教材编排的顺序？）

意义建构，解决问题：学生对知识的意义建构，与问题发现、探究与解决相随相伴，同步推进。在提出核心问题以后，教师要在学生的“最近发展区”上设计问题（串），引导学生自主探究，让学生的思维逐步逼近问题的“核心地带”，自主的开展知识的建构。

拓展应用，反馈矫正：

二、设计有价值的问题，促进学生自主建构教学的几点思考

新课改倡导以问题为中心的教学，引导学生以高水平的思维活动开展学习，通过问题解决来自主建构知识。

１.围绕目标，突出教学重点和难点

２.减少学情，彰显主体地位

３.启发性强，提供迁移空间

４.具有层次性，引领思维逐步深入

５.引发合作探究，体验建构过程。

u《探究促拓展　老题生新花——以一道常见几何试题的三个拓展为例》

——白雪峰（北京教育学院朝阳分院），郭璋（北京市朝阳区教育研究中心）

数学探究活动是学生围绕某个具体的数学问题，运用数学的知识、方法、思想和观念等开展自主探究、合作研究并最终解决数学问题的一种学习实践活动过程。

通过数学探究学习，不仅有利于促进学生获得和巩固数学基础知识与基本技能，还有利于促进学生经历数学知识形成、发展和应用的完整过程，拓展数学学习视野，获得开展数学学习所必要的数学发现、数学分析和数学演绎的基本能力，从而发展学生的数学核心素养。

基于经典问题展开的问题拓展过程，深度反思基于问题拓展所进行的数学探究活动，可以看到其中蕴含着深厚的数学育人价值。在数学教学过程中，教师需要根据教学内容和学生实际，不断调整和改进课堂教与学的形式，丰富学生学习样态，适时适当地组织开展学习探究活动。不仅有助于学生深化基础知识和巩固基本技能，还可以帮助学生丰富数学想象，积累活动经验，优化探究数学问题的思维品质，促进学生解放思想，形成基本的研究方法和解题策略。在体验数学发现之乐趣和感受数学思维理性之美的过程中，不断增强勇于探索又善于探索，敢于创新又善于创新的数学研究自信。

u《向量将几何代数化举例》

——林开亮（西北农林科技大学），刘新亮（天津市耀华中学）

陈省身：高中数学课程改革，教学内容增加向量、算法、微积分、概率统计等内容，都是可以的，但都要讲一些最基本的概念，讲一些最基本的东西。

本文结合自身教学研究的经验，以具体的例子诠释“向量可以将几何代数化”：勾股定理与余弦定理，平行四边形等式，菱形与矩形的刻画。

u《数学问题2313号引致的一条不等式链》

——何灯（福建省福清第三中学）

u《一个不等式的推广》

——张乐千（北京师范大学附属实验中学）

u《第二十二届北京市高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考解答》

u《一个三角等式证明及其应用》

——杨学枝（福建省福州第二十四中学）

u《数学教学设计要彰显系统的思想——评《中学数学系统化教学设计》》

——陈汉君（天津师范大学《数学教育学报》编辑部）

教学设计，就是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程。教学设计是确保教师课堂教学效果的重要环节，教学设计的质量决定着课堂教学质量。教学设计与教案的根本区别在于：伎的教案基于数学知识，关注的是教师的教，强调教师的主导作用，突出从教的视角考虑“教什么”和“怎么教”，目标是如何让学生掌握知识，尤其是知识的重点与难点；而教学设计基于学生发展，关注的重点是学生的学，强调从学的视角设计“教什么”“怎么教”“为什么这样教与学”等，目标是教学生学会学习。