1. 三角形内插值:Barycentric Coordinates

要介绍插值算法，首先需要知道为什么我们需要插值。其实在上一节中已经介绍过，像Phong Shading这样的算法，它需要在已知顶点法向后对每个像素求出法向，因此需要用到插值算法，更进一步的目的是希望能够在三角形内部获得一个平滑的过渡。当然除了对法向做插值，我们也可以对颜色、纹理坐标等做插值计算。

那么怎么做插值呢？这就需要用到重心坐标(Barycentric Coordinates)。

注意重心坐标并不是指三角形内重心的坐标，而是每个点的坐标表示形式不再是常用的直角坐标系，而是用重心坐标来表示任意点。

说起来有点绕，直接看下图，下图给出了重心坐标的示意图。下图中三角形三个顶点分别是A,B,C(假设是2D空间), 其中红点可以是三角形内任意的点，该点的真实坐标为(x,y)，重心坐标为(α,β,γ)，真实坐标和重心坐标满足如下关系：即该点的直角坐标是三个顶点直角坐标的线性组合，且系数之和为1，且每个系数是非负的。

(x,y)=αA+βB+γC=α(xA,yA)+β(xB,yB)+γ(xC,yC)

⇒s.t. α+β+γ=1  

α≥0,β≥0,γ≥0

举例来说，A点的重心坐标为(1,0,0)

上面重心坐标的三个系数是从坐标的角度计算得到的，其实也可以从几何角度来计算。具体来说就是计算三角形面积占比。以下图为例，我们随便选取一个三角形内的点，然后将三个顶点和该点连接后可以得到三个子三角形，那么三个系数计算公式如下：

αβγ=AAAA+AB+AC=ABAA+AB+AC=ACAA+AB+AC

AA表示AreaA

我们知道三角形重心的直角坐标是顶点坐标的算术平均，即xc=1/3(xA+xB+xC)，那么很自然重心的重心坐标就是(1/3,1/3,1/3)

基于上面的介绍，这里给出任意点的重心坐标计算公式：

α=−(x−xB)(yC−yB)+(y−yB)(xC−xB)−(xA−xB)(yC−yB)+(yA−yB)(xC−xB)β=−(x−xC)(yA−yC)+(y−yC)(xA−xC)−(xB−xC)(yA−yC)+(yB−yC)(xA−xC)γ=1−α−β

介绍完了重心坐标，那我们怎么利用重心坐标来做插值呢？

其实很简单，我们首先假设三角形内每个点的重心坐标已经求解出来了，那么之后的插值计算就很自然了，因为重心坐标其实就是插值了。

举例来说，如果我们想要求三角形内任意点k插值后的法向nk，那么首先我们一直三个顶点的法向，则nk=αnA+βnB+γnC。

但是有一点需要注意的是，3D物体投影到2D屏幕后，点的重心坐标可能是会发生变化的，比如3D时重心坐标可能是(0.5,0.2,0.3), 到了2D后就变成了(0.4,0.4,0.2),这样一来就可能导致差值结果产生较大偏差。

所以为了避免这种偏差，正确的做法是什么呢？举例来说，假如我们要求投影后三角形内所有点的深度信息，我们不能根据2D空间中三个顶点的深度信息做插值，而需要先计算出3D空间中的三角形内每个点的重心坐标，然后计算出3D空间中该点插值后的深度信息，最后将该深度信息填充到对应的2D位置上。