做回真正的学生——长沙市“讲题比赛”的一次探索之旅       

                    作者：刘宇枫

      
 秋高气爽的 9月，长沙市又迎来了一年一度的“讲题比赛”，作为市团体会员单位的我们马上拿到了张老师拟定的20道讲题题库。每年一届的讲题，我都兴致勃勃，第一个念头就是把这些题都做一遍，增加解题经验的同时也提高数学教学的信心。在小学教学的7年里，几乎每一位校长都对我说过：老师自己都不会解题，就不要跟学生去讲题了。而数学教学和数学研究恰恰很多时候就是从“解决问题”开始的。

        打开文件，开始自己的解题之旅，10分钟过去了，1小时过去了，怎么回事，第一题“皮克定理的证明”依然没有完整地做出来；好吧，换一道，第二题排列组合总没问题吧，排了一小时、两小时………怎么算出3个不同的答案；这个时候，我真的慌了，我甚至开始怀疑自己的能力，怀疑自己是否还能够教数学了，还好一直养成了一个好习惯，再困难也坚决不要去百度问题的答案。好几天，我试图放下这些“题”，吃饭、工作、睡觉，可那些思路，那些思考依然萦绕在我的脑海中，怎么回事？我又调整了心态重新投入到了解题的“艰苦奋战”当中，还是从第一题开始，把草稿过程，思路结构有序的安排，逐步地推进。果然，“奇迹”出现了，第一题、第二题……，然后是反复地验证、校队答案。也正是在这个时候，我接到了学校安排的任务——代表单位参加这次长沙市的讲题比赛，我认为“讲题”和“做题”还是有一些不同的，它要求研究者有更深入的研究，有对该题更宽泛的理解，更应该有对该题收获的完整总结。其实我只是抱着一种侥幸的心态，不要抽到最后一题就好，因为第二十题，我仅仅知道了如何去做，但不能归纳成一种通法通则，更加没法拿到台面上去演讲了。（殊不知，第20题的归纳才是最有精华的地方）

         抽签的结果出来了，我讲的题是第六题——取棋游戏，我很快把自己凌乱的推理草稿整理了出来，回头一看，天啊，要把这种东西拿上去讲，有几个人能听懂呢？

         接下来便开始了两个月的讲题筹备：

         其实此类题型，很早就在耶鲁大学的数学课堂上流行起来了，来自于博弈数学——桌面上摆放了一些棋子，按规则，你拿几颗，我拿几颗，谁先拿完谁就赢。而第六题仅仅只是其中的一道设计而已。

          我把这次探索之旅分为4个部分来和大家分享。

         一、似学生般“审题”

         第六题是这样的：“有两堆棋子，黑子8颗、白子15颗。若取一种颜色可取任意颗，若取两种颜色，则两种颜色的数量要相同，两人轮流取，取到最后一颗为胜，请研究获胜策略。”

        
可能是过多的受到就“旧知”的干扰，我很快联想到了一道类似的策略题：“两个桶子，各有一些球，可以在任意一个桶子里面拿任意颗，谁拿光两个桶子，谁就获胜。”这道题的获胜方法是，先将两个桶子的数量拿成一样多，然后不断的维持两个桶子数量一样，直到获胜。可是本题，如果拿成一样多，就肯定输了。这其实反应了老师也和学生一样，养成了一种思考的“坏习惯”——回忆之前是否有类似的题型或思路，这很大的破坏了人的本能创造和探索。

        
 由此可见，张老师编的题用心良苦，就是希望能够把我们逼回“小学生”的状态，体验做难题的心理状态。

        
 回到原点，我重新来分析两条取棋规则：一、若取一种颜色，则可取任意颗；（图示规则一）举例来说，如果只拿黑子，可以拿1到8颗，若只拿白子，可拿1-15颗。

       
  规则二：若取两种颜色，则两种颜色必须数量相同。也来举个例吧，两种颜色都拿，黑拿了8颗，白也必须拿8颗。总言之，拿两堆，数量就要相同。

         
其实规则二给了我一个“先手必胜”的局面——如果两堆棋子的数量相同，我就可以一次拿完，但是就这条简单的策略还不够确保获胜。

         
二、原始的“逆推探索”

          根据解决所有问题的通法——化繁为简，这才开始了真正的探索，我把棋子的数量先尽量的减少，来寻找规律：

          
（一）1~3颗棋子的探索：

           我先分析3颗棋子，3颗棋子只会出现两种情况（2，1）或是（1，2），可以看成一种情况。

当出现2，1时，先取者无法拿走这3颗棋子，如果我拿1颗白子，对方就各取1颗拿完；若我拿2颗白子，对方就取1颗黑；或者我取黑子，对方拿完2白子， 由此可见，（1，2）的组合是一组“先手必败”的局面。马上我便得到了第一条进攻策略：如果能把对方逼到（1，2）的局面，就能获胜。

有了良好的开端，找到了一个突破口，顿时信心百倍，其实此时的心情和孩子是相同的，很多孩子为什么一见到难题就退缩，主要还是他没有一个促成他信心的出发点，孩子毕竟不同于我们老师，需要我们及时的鼓励、帮助、引导，来让他们“尝到一些甜头”。

可是（8，15）到（1，2）期间变化太大？还有哪些“先手情况”可以把对方逼成（1，2）呢？我开始继续推理。

         
这里体现了“整体”的数学思想，它要求解题者“整合利用”两条游戏规则。而在实际探索的过程中，我不是忽略了第一条规则，就是忘记了第二条规则，这给逆推制造了大量的麻烦，由此可见，“联想”、“整合”的能力也是解题过程中非常重要的。在实际的小学教学中，我也经常发现一部分学生，算了这一块，又丢了那一块，读完了整道题，却又不能形成一条完整的思路。所以反思平时的教学中，我们也要非常注重这种“联想”能力在学生中的培养。

        
继续来看，根据规则一，一旦对方将其中一堆拿到1，我就把另一堆拿到2，相反，对方如果拿成2，我就凑成1。

       
 再根据规则二，如果出现相差1颗的情况时，我就一步拿到（1，2）的组合。举例来说，如果对方拿成了（8，7），我就各取6颗拿到（1，2）。利用差不变的原理，我们知道任何“相差一颗”的情况都可以一次拿成1、2的组合。

       
因此，相差1颗，或者其中一堆含有1或者2的局面，可以称之为“先手必赢”的局面。

     
（二）继续逆推上升，提高数据

       
找到了（1，2）这个突破口之后，我开始将自己的猜想升级：是否还有更多逼输对方的局面呢？（现在回想起来，这和学生的状态是一样的，有了第一步，就开始渴望得到更多的线索，接下来该干嘛呢？当然就是马上动手往下寻找更多的“信息”。突然一位学生走了进来：“老师，我的作业订正好了，您改一下。”我火冒三丈，马上训斥学生：“现在别来，先出去，老师正在想题。”学生无语的离开了。几分钟后，我才意识到这个事件其实就是自己在课堂上的真实写照：我们经常在课堂上给学生设计了各种各样的问题，各种各样的探索机会，可是一旦学生好像进入了我们设计的这个状态之后，我们便开始一步步地“掠夺”孩子们的自我探索，自我上升机会。例如：老师告诉你们，还有一个更好的办法，还有一个更简单的方法，或者其实这个内容数学上叫………。老师过早的总结，过早的结论，彻底阻断了孩子们尝到一点点甜头后的求知欲。）

       （1，2）之后，我开始了漫长的推理， 反复的博弈，也就是“逆推”，但是逆推的过程中，无形中包含了大量的心算，期间屡有出错的情况。我这才体会到，原来此时的我已经和学生无异，凌乱的草稿，凌乱的思绪，真空的自我博弈……

       
都说好的方法是在困难和实践中摸索出来的，在博弈次数不断增加的同时，我想到了“统计”的思想来代替心算，以减少错误，提高效率，果然好用又快速。

尤其是有序列表和分类列表的统计方式。

       
我们继续来看，(2，3，2，4)因为出现了2，可以抢成（2，1），（3，4）相差1颗，也可以抢到（1，2）；而（3，3）、（4，4）可以直接全拿，都属于“先手必胜”的局面。可是（3，5）的局面既不能一次取完，也没办法抢到（1，2）的必败局面留给对方。想必（3,5）也是一个先手必败的局面吧。

      
（三）用“自己的办法”推理（3，5）局面

         
我把3、5的情况进行了第一次列表逆推。三种分类（课件演示三种分类列表以及取棋过程）分类一．对方只取黑子，利用有序的思想，对方先取1个黑子剩（2，5），我可以抢到2，1的组合，对方取2个黑子（剩1，5），我可以抢到1，2的组合，对方拿3个黑子（只剩白子），我全拿。

         
分类二，还是利用有序，对方拿1个白子，2个白子，3个白子……；

         
分类三，黑白各1个，黑白各2个，黑白各拿3颗…… 

        
 我们可以从表中看到无论对方如何取球，我都可以抢到1，2的先手必败局面给对方或者全部拿完。最后综合三个分表，得到（3、5）的完全验证。

         
 于是第二条进攻策略得出：把对方逼到（3，5）的必败局面时（课件：3，5），也能获胜。根据对（1，2）相同的研究方法——整合利用两条规则：任何相差2颗的情况，我都可以一步抢到3，5的组合（课件出示两个要点），或者只要有一堆出现3颗或5颗，我就匹配成3、5。

       
（四）沿用原创方法继续探索更多取胜的“要点”

         在慢慢上升推理的过程中，我和自己的学生一样，不断地去反思之前找到的数对，究竟有没有什么关系，于是产生了一个重要的猜想：既然抢到相差1、相差2的数对都可以逼输对方，那么下一组“先手必败局面”会是相差3颗吗？既然1、2、3、5都已用过，下一个组合会是4，7吗？

这个重要的猜想成了解决这道题的致命要素（我能想到学生在课堂上同样有很多猜想，可是我又给了他们多少机会去发表自己的意见呢？）还是利用分类 有序的列表，我很快把抢到（4，7）之后的所有情况进行了列表验证，结论很快得出：这个猜想是正确的，无论对方怎样取，我都可以后发制人，抢到前面已经验证过的（1，2）、（3，5）或者全部取完。因此，（4，7）也是一个先手必败的局面。 

        根据以上相同的推理思路和验证方法，我又找到了（6，10）、（8，13）这两个相差4、相差5的数对。以下便是把对方逼到这些局面之后的列表验证。

        
（五）总结本题的取胜策略：

          
 根据这些的“先手必败局面”的出现，我已经可以确定本题的取球策略：就是先将8-15中的白子取走2颗，把对方逼到（8，13）的局面，之后利用差1、差2、差3、差4的关系，将剩下的球不断地抢到（1，2）（3，5）（4，7）（6，10）这样的关键数对来保证取胜。

        
三、不能停止的深思本体——延伸拓展       

         （一）对数据规律的渴望

 有了“数对”这个东西，这道题的取胜就容易了。可是一个新的问题突然闪现在我的脑海中，黑100颗，白180颗怎么办？找数对困难，要完全记住每一个局面更难。这个问题困扰了我很长时间，时刻提醒自己“不能带着这样的疑问上台去讲题”，我不断地计算、列表、推理、画图、归纳……每天一有时间就拆解这些数对，试图找到一种更便捷的推理方法。

           
（1，2）（3，5）（8，13）（21，34）

            （4，7）（6，10）（16，26）……

             （9，15）（11，18）…… 是等差数列吗？不是，是等比数列吗？也不是，是斐波那契数列吗？像是，又不完全是。

            当我把这些数对画在直角坐标系上时，神奇的事情出现了……先划去（1,1）、（2,2）（3,3）这类数量相同的先取必胜的局面。先出来的便是（1,2）和（2,1），再划去含有1或2的数对，相差1颗的数对。最先出来的便是（3,5）和（5，3），以此类推，只需继续划，便可迅速找到后面的所有数对。

           
利用一些古典资料的学习和博弈学中的一些英文资料，我找到了本题的背景：该游戏最早于1907年由荷兰数学家威佐夫（Wythoff）提出，并多次成为耶鲁大学数学系开学第一课的研究游戏，但其实它起源于中国，由丝绸之路传到欧洲，当时记载为“二人筷子游戏”——chopsticks game，这些数对又称“W数对”，他们和黄金分割有着密切的关系，可利用反证法、辅助定理归纳出一种利用黄金分割数的简易算法：较小数=[差值×1.618]（这里的[a]表示取不大于a的最大整数）。所以任给2堆棋子时，可以利用简易算法，先判断当前两堆棋子数是否已为“必败局面”来决定先取还是后取。最后我还根据数据转化发现了此题的一种二进制解法，有趣又妙不可言。

        
四、与生共勉——永不停止的反思。

         一、在教学中可以多引导学生利用列表的方法解决问题。

         这种原始的统计方式能够给孩子们提供一个强有力的探索工具。例如鸡兔同笼、排列组合，都非常适用。今年鸡兔同笼已经从六年级转移到四年级，其实能够体会到教材编写者的意图，希望增强学生更多的自我探索意识，而不是过多的依赖方程或固定模式解题。我让孩子们用一节课来列表推理鸡兔问题，培养学生有序，规划，简洁地分析问题，推理问题，归纳问题。没想到这样的办法很快转化成了优势，第二节课很多孩子已经根据自己的原始表格找到了假设的这种思路，而对于某些怪鸡怪兔，已知兔腿与鸡腿数差的特殊情况，学生也能兴致盎然地主动推理，主动归纳。

       
 二、不要抹杀孩子的“探索本能”。

         
 通过这次讲题的准备过程，我时刻会在课堂上反思，这一个个环节，我有没有阻止了学生的探索。我让原生态的孩子们研究课本中的“巴什博弈”——也就是四年级数学广角中的报数游戏，我引导他们从数目较小的情况下开始探索。首先是激烈的博弈场面，在博弈的过程中，孩子们都在努力的逆推，模拟对方。还有在半小时内完成的原始推理表，孩子们自己得出的结论也让我叹为观止。 

        
三、博弈学中的一些传统数学文化可以在学生中以游戏的形式开展。

        “威佐夫博弈”与数学广角中的巴什博弈以及尼姆博弈统称为博弈论中的三大基础，这种角色模拟的体验，能够让孩子们学会多从对方的角度去思考问题。在当前我们的数学教学体系中，角色互换，角色模拟思考的训练还是一块空白，没有教材，没有方式，而在实际生活中，我们确实需要这种“变换”“预设”的思维方式。数学教学就是“思维体操”，一切有利于学生开发思维方式，增加思维体验的活动都是有价值的。

        而博弈思想本来就在军事、经济以及进化生物学等领域中被广泛应用。

        这次美妙的解题之旅，彻底把我拉回到了“学生”的年代，和学生一起做题，和学生一起进步，和学生一起探讨，和学生一起感受数学之美。感谢张老师用心良苦的编写每一道“经典”，作为一线数学教师的我们只希望在自己的小学数学教学之路上，始终留有一份净土，又总想去感受它的光彩。