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一些常用函数的曲线图及应用简说

(2012-11-04 12:57:00)
标签:

数学函数

幂函数

指数函数

对数

三角函数

分类: 公度世界

0:关于基本数学应用的问题:

     我的一些市场分析博文中,用了一些很浅显的数学知识,但仍有博友觉得不大好理解。我采集了一些常用的基本函数的曲线和简单说明,以备速查。

 

1:正弦余弦曲线:更一般应用的正弦曲线公式为:

http://upload.wikimedia.org/math/0/4/d/04d7b8cb6ea3d7092770e502eb877f33.png

A 为波幅(纵轴), ω 为(相位矢量)角频率=2PI/T,T为周期, t 为时间(横轴), θ 为相位(横轴左右)。

[转载]曲线拟合鈥斺1、了解基本初等函数图形

周期函数:正余弦函数可用来表达周期函数。

    例如,正弦和余弦函数被用来描述简谐运动,还可描述很多自然现象,比如附着在弹簧上的物体的振动,挂在绳子上物体的小角度摆动。正弦和余弦函数是圆周运动一维投影。

    三角函数在一般周期函数的研究中极为有用。这些函数有作为图像的特征波模式,在描述循环现象比如声波或光波的时候很有用。每一个信号都可以记为不同频率的正弦和。

 

余弦函数的(通常是无限的)和;这是傅立叶分析的基础想法。例如,方波可以写为傅立叶级数:

http://upload.wikimedia.org/math/c/c/b/ccb3fbbad43a32a3454d8e17beb0b29e.png

在动画中,可以看到只用少数的项就已经形成了非常准确的估计。

如果明白了上书基本原理,也就不难理解我所用的浮动频率合成曲线的道理。

 

2:指数函数:形如 y=kax 的函数,k为常系数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数。指数函数按恒定速率翻倍,可以用来表达形象与刻画发展型的体系,比如金价2001年以来的牛市轨迹基本就是指数方程曲线。

[转载]曲线拟合鈥斺1、了解基本初等函数图形

特例:应用到值 x 上的这个函数可写为 exp(x)。还可以等价的写为 ex,这里的 e 是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还叫做欧拉数。

即函数:http://upload.wikimedia.org/math/7/d/b/7dbebe48d212459126c9b1217fa3379c.png

定义于所有的 a > 0,和所有的实数 x。它叫做底数a指数函数。注意这个 http://upload.wikimedia.org/math/3/7/8/378ef468365a2fd4ae953f909ad2dee0.png 的定义依赖于先前确立的定义于所有实数上的函数 http://upload.wikimedia.org/math/5/c/f/5cffa5d7a0c145a80dee9dc2295d5cdf.png 的存在。注意上述等式对于 a = e 成立,因为

http://upload.wikimedia.org/math/2/f/7/2f72b641f0b37e582d2a5e2cb5705410.png

指数函数可“在加法和乘法之间转换”,在下列“指数定律”的前三个和第五个中表述:

http://upload.wikimedia.org/math/1/e/2/1e2777f01991719b5668f80f00722757.png
http://upload.wikimedia.org/math/d/1/e/d1e1fdc7e280c8ca34df009c77eae36a.png
http://upload.wikimedia.org/math/a/4/1/a4191844b880b634839ffc3327a63f88.png
http://upload.wikimedia.org/math/5/b/2/5b255e421d8eca30574b71afdfd05c8a.png
http://upload.wikimedia.org/math/e/5/a/e5a702e6ca7ab15d11f44cd481260300.png
http://upload.wikimedia.org/math/7/9/2/792be9fa181496f1a6aa7506c61f6c56.png

它们对所有正实数 ab 和所有实数 xy 都是有效的。

[转载]曲线拟合鈥斺1、了解基本初等函数图形

3:幂函数:是形如f(x)=xa的函数,a可以是自然数,有理数,也可以是任意实数或复数。

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c7/Power_function.gif/800px-Power_function.gif

 

下图是幂函数; 自上至下: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/4d/Root_graphs.svg/800px-Root_graphs.svg.png

 

 注意到上图中a值有分数的情形,这个就是分形数学的源头。分数维意味着两个量xy之间存在着幂函数关系,y=axb 。而这里的b可以不是正整数。

语言学中Zipf定律与经济学中的Pareto定律都是简单的幂函数,也称之为幂律分布;还有其它形式的幂律分布,像名次——规模分布、规模——概率分布,这四种形式在数学上是等价的,幂律分布的示意图如图1右图所示,其通式可写成y=c*x^(-r),其中x,y是正的随机变量,c,r均为大于零的常数。这种分布的共性是绝大多数事件的规模很小,而只有少数事件的规模相当大。对上式两边取对数,可知lny与lnx满足线性关系,也即在双对数坐标下,幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线,这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据

幂率的另一层重要意义:理解幂律分布就是所谓的马太效应,二八原则,即少数人聚集了大量的财富,而大多数人的财富数量都很小。

4:对数函数曲线:群论对于对数的视角,是俺常用的:即从纯数学的观点来看,恒等式

http://upload.wikimedia.org/math/7/c/5/7c55baf936fb730ec5c693d25eaab6b9.png

在两种意义上是基本的。首先,其他算术性质可以从它得出。进一步的,它表达了在正实数的乘法群和所有实数的加法群之间的同构对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。

 

[转载]曲线拟合鈥斺1、了解基本初等函数图形

 

5:均匀分布:

先看一下离散型均匀分布,在概率论中,离散型均匀分布是一个离散型概率,其中有限个数值拥有相同的概率。设随机变量X取n个不同的值,其概率分布为:

P{X=xi}=1/n, i=1,2...n;   则称X服从n个点{x1,x2,...xn}上的均匀分布。

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/DUniform_distribution_PDF.png/800px-DUniform_distribution_PDF.png

这个东西表面看起来抽象,其实只需要记住一个例子就很好理解,赌博用的有6个面的骰子,6个面出现的几率是相等的,即为均匀分布。

 

连续型均匀分布,如果连续型随机变量http://upload.wikimedia.org/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的均匀分布(uniform distribution),记作http://upload.wikimedia.org/math/1/2/c/12cc87a67ce350e5ec7bef503d6b7950.png

概率密度函数:

http://upload.wikimedia.org/math/f/5/0/f506b65b9633c29bb8f7960409ecda39.png

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Uniform_distribution_PDF.png/800px-Uniform_distribution_PDF.png

 

 

期望值(即均值):

http://upload.wikimedia.org/math/5/e/9/5e9fe55d33810582232765e5778120de.png

均匀分布具有下属意义的等可能性。若http://upload.wikimedia.org/math/1/2/c/12cc87a67ce350e5ec7bef503d6b7950.png,则X落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率:

http://upload.wikimedia.org/math/a/a/4/aa41bda313bcb09fcd6e1b3e3f34d39a.png

只与区间[c,d]的长度有关,而与他的位置无关。

 

均匀分布可以代表信息极度贫乏的体系或无序状态的体系。而如果一个系统不属于均匀分布或随机游走,即均匀分布或随机游走的否定,就等于肯定了该系统具有信息,或者说具有某种程度的有序性。这个就是均匀分布的实际应用价值之一。

 

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