一些常用函数的曲线图及应用简说
(2012-11-04 12:57:00)
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数学函数幂函数指数函数对数三角函数 |
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0:关于基本数学应用的问题:
1:正弦余弦曲线:更一般应用的正弦曲线公式为:
A 为波幅(纵轴), ω 为(相位矢量)角频率=2PI/T,T为周期, t 为时间(横轴), θ 为相位(横轴左右)。
周期函数:正余弦函数可用来表达周期函数。
余弦函数的(通常是无限的)和;这是傅立叶分析的基础想法。例如,方波可以写为傅立叶级数:
在动画中,可以看到只用少数的项就已经形成了非常准确的估计。
如果明白了上书基本原理,也就不难理解我所用的浮动频率合成曲线的道理。
2:指数函数:形如 y=kax 的函数,k为常系数,这里的 a 叫做“底数”,是不等于 1 的任何正实数。指数函数按恒定速率翻倍,可以用来表达形象与刻画发展型的体系,比如金价2001年以来的牛市轨迹基本就是指数方程曲线。
特例:应用到值 x 上的这个函数可写为 exp(x)。还可以等价的写为 ex,这里的 e 是数学常数,就是自然对数的底数,近似等于 2.718281828,还叫做欧拉数。
即函数:http://upload.wikimedia.org/math/7/d/b/7dbebe48d212459126c9b1217fa3379c.png
定义于所有的 a > 0,和所有的实数 x。它叫做底数为 a 的指数函数。注意这个 http://upload.wikimedia.org/math/3/7/8/378ef468365a2fd4ae953f909ad2dee0.png 的定义依赖于先前确立的定义于所有实数上的函数 http://upload.wikimedia.org/math/5/c/f/5cffa5d7a0c145a80dee9dc2295d5cdf.png 的存在。注意上述等式对于 a = e 成立,因为
指数函数可“在加法和乘法之间转换”,在下列“指数定律”的前三个和第五个中表述:
- http://upload.wikimedia.org/math/1/e/2/1e2777f01991719b5668f80f00722757.png
- http://upload.wikimedia.org/math/d/1/e/d1e1fdc7e280c8ca34df009c77eae36a.png
- http://upload.wikimedia.org/math/a/4/1/a4191844b880b634839ffc3327a63f88.png
- http://upload.wikimedia.org/math/5/b/2/5b255e421d8eca30574b71afdfd05c8a.png
- http://upload.wikimedia.org/math/e/5/a/e5a702e6ca7ab15d11f44cd481260300.png
- http://upload.wikimedia.org/math/7/9/2/792be9fa181496f1a6aa7506c61f6c56.png
它们对所有正实数 a 与 b 和所有实数 x 与 y 都是有效的。
3:幂函数:是形如f(x)=xa的函数,a可以是自然数,有理数,也可以是任意实数或复数。
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c7/Power_function.gif/800px-Power_function.gif
下图是幂函数; 自上至下: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8
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语言学中Zipf定律与经济学中的Pareto定律都是简单的幂函数,也称之为幂律分布;还有其它形式的幂律分布,像名次——规模分布、规模——概率分布,这四种形式在数学上是等价的,幂律分布的示意图如图1右图所示,其通式可写成y=c*x^(-r),其中x,y是正的随机变量,c,r均为大于零的常数。这种分布的共性是绝大多数事件的规模很小,而只有少数事件的规模相当大。对上式两边取对数,可知lny与lnx满足线性关系,也即在双对数坐标下,幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线,这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。
幂率的另一层重要意义:理解幂律分布就是所谓的马太效应,二八原则,即少数人聚集了大量的财富,而大多数人的财富数量都很小。
4:对数函数曲线:群论对于对数的视角,是俺常用的:即从纯数学的观点来看,恒等式
在两种意义上是基本的。首先,其他算术性质可以从它得出。进一步的,它表达了在正实数的乘法群和所有实数的加法群之间的同构。对数函数是从正实数的乘法群到实数的加法群的唯一连续同构。
5:均匀分布:
先看一下离散型均匀分布,在概率论中,离散型均匀分布是一个离散型概率,其中有限个数值拥有相同的概率。设随机变量X取n个不同的值,其概率分布为:
P{X=xi}=1/n,
i=1,2...n;
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6f/DUniform_distribution_PDF.png/800px-DUniform_distribution_PDF.png
这个东西表面看起来抽象,其实只需要记住一个例子就很好理解,赌博用的有6个面的骰子,6个面出现的几率是相等的,即为均匀分布。
连续型均匀分布,如果连续型随机变量http://upload.wikimedia.org/math/2/c/3/2c3d331bc98b44e71cb2aae9edadca7e.png上的均匀分布(uniform distribution),记作http://upload.wikimedia.org/math/1/2/c/12cc87a67ce350e5ec7bef503d6b7950.png
概率密度函数:
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/9c/Uniform_distribution_PDF.png/800px-Uniform_distribution_PDF.png
期望值(即均值):
均匀分布具有下属意义的等可能性。若http://upload.wikimedia.org/math/1/2/c/12cc87a67ce350e5ec7bef503d6b7950.png,则X落在[a,b]内任一子区间[c,d]上的概率:
只与区间[c,d]的长度有关,而与他的位置无关。
均匀分布可以代表信息极度贫乏的体系或无序状态的体系。而如果一个系统不属于均匀分布或随机游走,即均匀分布或随机游走的否定,就等于肯定了该系统具有信息,或者说具有某种程度的有序性。这个就是均匀分布的实际应用价值之一。