环面是一个圆 A 绕另一个圆 B 形成的曲面，但 A 和 B 只要拓扑上还是个圆，也就是自身不相交的闭合曲线，那么这么绕圈操作之后，拓扑上得到的就还是一个环面。这里我们考虑一种特殊的曲线：内摆线。

注意内摆线的形状都是某种正 k 边形，我们可以考虑让 A 在环绕过程中自身绕中心旋转，只要旋转速率适当，就可以在环绕一周后，仍然形成闭合曲面。

曲面方程用了 u、v 两个互相独立的参数来生成曲面。如果它们不是互相独立的会怎么样呢？单个参数会生成曲线，而由于我们用环面函数做基础，那么根据u、v间变化的速度 p、q的关系得到环面上的各种曲线。但光是线条还是有些单调了，我们可以把它变成管状。

纽结理论中，环面纽结是一种特殊的结。它由一对整参数p和q决定。

长条缠绕：绕环面的曲线不仅可以做成管状，还可以用方条形：

方条的四面可以用参数方程曲面，这样可以贴合圆环面，显示效果最好。如上图。

其它构造方法：方条的四面用截面矩形的四边的轨迹面构造

王达老师用曲线方程的一阶和二阶导数得到Frenet 标架的三个单位向量，从而构造截面矩形，再形成轨迹面。

方条的四面用直纹面，效果比轨迹面好些。

王老师用曲面方程中的裁剪制作，很巧妙！我加入了自定义着色。

让小圆圆心在其它曲线上运动，可以构造更多美丽的图形。上图显示的是在一个半径不断增大的空间螺旋上。

著名的荷兰画家埃舍尔(Escher)有一幅版画 Spirals，可以看作四条螺旋带组成的。 

   埃舍尔不仅对与晶体有密切关系的立体图形有兴趣，任何有趣有规则的立体图形都能使他产生创作冲动。在1953年到1958年之间, 他制作了五幅版画，都是以空间螺旋 (spatial spirals) 为题材的。双色木刻画《旋》，向我们传达了他对纯粹形式法则的惊叹之情。  

在图霸中可欣赏动图。

    在环面上能做的变化还有很多很多，用几何图霸制作的方法也有许多。限于篇幅这里就不继续列举下去了。希望目前为止的这些展示能让读者有所启发，有兴趣的读者可以进一步继续探索其它可能的变化。本页图形均由几何图霸制作。