平面与圆柱面的截线

高中数学选修4-1《几何证明选讲》中“圆锥截线”一节的教学要求是“让学生了解平面与圆柱面的截线是椭圆（特殊情形是圆）”。虽然本节内容不作要求，可以选择开设相关讲座或指导学生阅读进行教学。但是定理的证明，蕴涵着丰富的数学思想方法，它们有助于学生体会空间想像能力和几何直观能力在解决问题中的作用，有助于提高学生综合运用几何知识解决问题的能力。条件允许的学校，教师可以利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin双球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维。近期，我根据有关材料，运用《几何图霸》制作了相关课件，可以到图霸网盘中自由下载。文中的图片均是静态的截图，在课件中它们是可以动态变化的。

一、直观感知：

倾斜的茶杯中的水面：

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平面与圆柱面的截线：
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容易发现：当截面与圆柱面的轴垂直时交线是一个圆,当截面与圆柱面的轴成锐角时，交线为椭圆。

刀削竹杆图，截口是椭圆。
http://s4/mw690/557d2546gx6BI929EVJd3&690

在几何图霸中曲面的绘制要用到方程。上图使用柱坐标系很方便，图霸用户可以根据下图制作：

http://s7/mw690/557d2546gx6BIFqhcPA26&690


平面与圆柱面截线的展开图是正弦型曲线。如下图：你能证明吗？
http://s9/mw690/557d2546gx6BI929IzC88&690

几个圆柱面相交构成“田”字，它们的制作要复杂些，可以在图霸中查看各步骤。

它们的交线方程又是什么呢？到“空间解析几何”中学习吧！
http://s6/mw690/557d2546gx6BI929Epv05&690

二、定理证明及性质探究

为什么截线是椭圆呢？教材先从平面图入手，下图其实是空间图形的一个轴截面。

在下图中探讨三个问题：

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http://s14/mw690/557d2546gx6BIHa3VJr8d&690

再由此向立体图过渡：

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下面图运用了光照及透明效果。图中的点Ｐ运动到点Ｇ2时即是上图。
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http://s13/bmiddle/557d2546gx6BIJ2C5Y06c&690

证明仍要运用球的切线长定理。请看下面的线框图：

http://s12/mw690/557d2546gx6BI92hiGL9b&690

http://s13/bmiddle/557d2546gx6BIJh1mR61c&690

http://s3/bmiddle/557d2546gx6BIJBcAbU42&690

http://s4/bmiddle/557d2546gx6BILmUQX963&690

http://s5/mw690/557d2546gx6BILqULE8f4&690

http://s9/bmiddle/557d2546gx6BIMgsulG58&690

http://s3/mw690/557d2546gx6BIPrCIIq12&690

http://s11/mw690/557d2546gx6BIPMriJk8a&690


三、知识运用：

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求离心率参看下图：
http://s12/mw690/557d2546gx6BI92neaf7b&690

椭圆的短半轴等于圆柱面的半径R.长半轴等于R/sinθ.上图中绿色线长为短轴长2b，红色线为长轴长2a，所以KF等于焦距2c.离心率为cosθ.

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