一、利用定积分的定义求1/（x）的不定积分。

;将0到x分成n等份，则x=x /n； (n→∞) ，x→0，n=x /x, 1/n=x/x;

按照定义求∫(1/x) x== [lim(n→∞)[ x/x+x/2x+x/3x...+ x/nx]=1+1/2+1/3...1/n,还是求不出结果。

;1/x=ln[e^(1/x)]= [lim (n→∞) ln (1+1/n)ⁿ] ^(1/x)= [lim(x→0) ln (1+x/x)^x/x] ^(1/x),

;= [lim(x→0) ln(1+x/x)^x/x] ^(1/x)

;= [lim(x→0) ln (1+x/x)^1/x]

;= [lim(x→0) ln (1+x/x) /x]

;= [lim(x→0) {ln [(x+x)]- ln (x)}/x;

;= f/x,即1/x=f/x，f= ln (x), f=(1/x) x

；∫f=∫(1/x) x;

;f= ln (x)= ∫(1/x) x;当然还需要考虑常数C。

二、利用定积分的定义求1/（x）在[a,x]的定积分。

;将a到x分成n等份，令x1=x-a, x1=x则x=( x-a) /n； (n→∞) ，x→0，n=( x-a)/x, 1/n=x/( x-a);

; 1/x₁=ln[e^(1/x1]= [lim(x1→0) ln (1+x1/x1)^x1/x1] ^(1/x1)；

;= [lim(x1→0) ln (1+x1/x1)^1/x1] ;

;= [lim(x1→0) ln (1+x1/x1)] /x1;

;= [lim(x1→0) {ln [(x1+x1)]- ln (x1)} /x1;

;= [lim(x1→0) {ln [(x1+x1)/a]- ln (x1)/a} /x1;加a后值不变。

;=f/x1;即1/x1=f/x1，f= ln (x1/a), f=(1/x1) x1

；∫f=∫(1/x1) x1;

;f=∫(1/x1) x1;即ln[(x-a/) a]=∫(1/（x-a) （x-a）;当然还需要考虑常数C。

将x-a替换成x, ln[x/ a]+c=∫(1/（x) （x）

三、利用定积分的定义求1/（x²）的积分。

因为x不能等于0设a到x，且0；
令x_i=a*(x/a)^(i/n) （按等比数列分割区间）
x_i=x_(i+1)-xi=a*(x/a)^(i/n)[(x/a)^(1/n)-1]
则∫(a,x)1 /x^2dx=lim(n→∞)∑(1/a^2)*(a/x)^(2i/n)*x_i 

=lim(n→∞)∑(1/a^2)*(a/x)^(2i/n)* a*(x/a)^(i/n)[(x/a)^(1/n)-1] 

=lim(n→∞)∑(1/a)*(a/x)^(i/n)*[(x/a)^(1/n)-1]；i=0，，，n-1；等比数列公式：S=a1(1-qⁿ)/(1-q)，q=a(x/a)^1/n;
=lim(n→∞)(1/a)*[(x/a)^(1/n)-1]*(1-a/x)/[1-(a/x)^(1/n)]
=lim(n→∞)(1/a)*(x/a)^(1/n)*(1-a/x)
=1/a-1/x；http://s2/mw690/001y2qLpzy7q6PQ8t9fd1&690