求：1³+2³+3³+4³+5³+6³……+n³=Sn?（用n表示）并证明

解：

;1  8  27  64  125...... +n³

  7  19  37  61.....

12  18  24....

   6   6....

显然经过三次相减就为等差数列，是三阶等差数列(通项的最高次幂是三次)

1

1+7

1+7+12+7

1+7+12+7+12+7+12+6

1+7+12+7+12+7+12+6+12+7+12+6+12+6+6

.....

可以分析出

1是每项都是出现1次，

7是（n-1）项后出现符合1，2,3,4..

12是（n-2）项后出现符合1,3,6,10...的规律;

6是（n-3）项后出现符合1,4,10,20...的规律;

由此得通项1+7(n-1)+12(n-2)(n-1)/2+6[(n-1)(n-2) (n-3)/2*3]

验证通项

；1+7(n-1)+12(n-2)(n-1)/2+6[(n-1)(n-2) (n-3)/2*3]

=1+7(n-1)+6(n-2)(n-1)+ (n-1)(n-2) (n-3)

=1+7(n-1)+(n-2)(n-1)（n+3）

=1+(n-1) [ (n-2)（n+3）+7 ]

=1+(n-1) (n²+n+1)

=1+(n³-1)=n³

因此得Sn=n+7(n-1)n/2+12[(n-2)(n-1)n/2*3]+6[n(n-1)(n-2) (n-3)/2*3*4];将（n-3）代入[n(n+1)(n+2) (n+3)/2*3*4]（已证明）

化简:

Sn=n+7(n-1)n/2+12[(n-2)(n-1)n/2*3]+6[n(n-1)(n-2) (n-3)/2*3*4]

Sn=n+7(n-1)n/2+2[(n-2)(n-1)n]+ [n(n-1)(n-2) (n-3)/4]

Sn=n+7(n-1)n/2+8[(n-2)(n-1)n]/4+ [n(n-1)(n-2) (n-3)/4]

Sn=n+7(n-1)n/2+ n (n-1) (n-2) (n+5)/4

Sn=n+ n (n-1) [n²+3n+4]/4

Sn=n[1+(n-1) [n²+3n+4]/4]

Sn=n[n³+2n²+n]/4

Sn=n²[n²+2n+1]/4

Sn=n²[n+1]²/4

Sn= [n(n+1)/2]²;它的形式是多么的完美！

另附：

1,1,1,1,1,,,,,,,1

1,2,3,4,5,,,,,,,,n

1,3,6,10,15,,,,,,n(n+1)/2

1,4,10,20,35,,,,,n(n+1)(n+2)/2*3

1,5,15,35,55,,,,,n(n+1)(n+2)(n+3)/2*3*4

,,,,,,

1,m,m(m+1)/2, m(m+1)(m+2)/2*3,,,,,, n(n+1)(n+2)...(n+m-1)/m!