余弦定理的推广及费尔马大定理证明新思考

费尔马大定理的命题为：方程a^n + b^n = c^n在 a、b、c、n都是非零正整数的情况下，n的值只能是1和2。

根据费尔马大定理的表达式可知：费尔马大定理成立的必要条件是：三个数a、b、c较小两个数的和等于或大于第三个数，否则费尔马大定理无解。较小两个数之和等于第三个数，即c=a+b，n取1，a，b，c可以为正整数无须证明。

三个数的关系，当较小两个数之和大于第三个数，这三个数一定能构成三角形，也就是是说，以这三个数为边长一定能构成三角形。依据费尔马大定理的命题，这三条边不能相等，也就是说，不能为等边三角形，一定是不等边三角形，假设不等边三角形最大边c，也就是说费尔马大定理c可以根据余弦定理确定，c^2 = a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ，θ是三角形c边所对的角，显然θ一定大于60度小于180度，由于c是不等边三角形的最大边，所以c边一定大于( a ^2+ b^ 2 - ab )^1/2。当θ等于90度，费尔马大定理的命题是勾股定理：c^2 = a ^2+ b ^2，所以n=2费尔马大定理的命题得以证明。

将余弦定理思想推广到一般，根据余弦定理得：c^2 = a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ，两边开方得：c=( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)^1/2，再两边n次方得余弦定理的推广，c^n=( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)^n/2，c^n就是费尔马大定理:a^n + b^n = c^n的c^n，那么n大于2时，:a^n + b^n 和( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)^n/2能相等吗？结论是不能。

将a^n + b^n = c^n两边平方得：(a^n + b^n)^2 = c^2n，所以 c^2n=( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)^n，比较(a^n + b^n)^2和( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)^n。令y1=(a^n + b^n)^2，y2=( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)^n，显然y1是幂函数，y2是指数函数，根据指数函数和幂函数的特点，当指数函数底数等于幂函数底数时，这两个函数变化的过程中，当指数函数的值等于幂函数的值时，即y1=y2时，自变量n在变大时，不在存在指数函数的值等于幂函数值的情况，而是指数函数的值爆炸增大，会远远大于幂函数的值。由于幂函数y1=(a^n + b^n)^2和指数函数y2=( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)^n，在θ等于90度、n=2时相等，保持θ等于90度不变，所以当n大于2，y1绝对不会等于y2，即(a^n + b^n)^2绝对不会等于( a ^2+ b^ 2)^n，而是( a ^2+ b^ 2 )^n会远远大于(a^n + b^n)^2，y1、y2两边开平方得：y11=a^n + b^n，y21=c^n=( a ^2+ b^ 2 )^n/2，即当n大于2时( a ^2+ b^ 2 )^n/2远远大于a^n + b^n，也就是说，当n大于2时“c^n = a ^n+ b ^n”n无解，

当n大于2时，角度不是90度，θ必然大于60度小于90度，在这个范围cosθ必然是无理数，由于a、b是非零的正整数，所以( a ^2+ b^ 2 - 2ab cosθ)必然是无理数，n是非零的正整数，无理数的开平方再大于2的n次方必然是小数，而a^n + b^n必然是整数，即c^n=a^n + b^n大于2等式不能成立，所以方程“a^n + b^n = c^n”在 a、b、c、n都是非零正整数的情况下，n的值只能是1和2费尔马大定理的命题证明完毕。