勾股定理特别推广的思考及结论

众所周知，勾股定理的内容是：在直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边平方的和，数学描述：c^2=a^2+b^2，其中c是斜边的边长、a、b是两条直角边的边长。那么在直角三角形中，斜边的n次方和两条直角边是什么关系呢？在直角三角形中，斜边的n次方等于两条直角边平方的和的2分之n次方，数学描述：c^n=(a^2+b^2)^n/2，其中c是斜边、a、b是直角边，n是自然数。分析、论证如下：

因为c^2=a^2+b^2，所以c=a^2/c+b^2/c=a^2/(根号a^2+b^2)+b^2/(根号a^2+b^2)，以此类推c^3=(根号a^2+b^2)(a^2+b^2) ……，c^n=(根号a^2+b^2)^n-2(a^2+b^2)，化简得：c^n=(根号a^2+b^2)^n/2。

其实，根据勾股定理得：c=根号a^2+b^2，两边n次方直接可得：c^n=(根号a^2+b^2)^n/2。

结论：在直角三角形中，斜边的n次方等于两条直角边平方的和的2分之n次方，数学描述：c^n=(a^2+b^2)^n/2，其中c是斜边、a、b是直角边，n是自然数。

其实，就数论来说，勾股定理是直角三角形三边最简单的关系，构成直角三角形三边的关系，可以推广到斜边的任意次方和两条直角边的关系，数学描述：在直角三角形中，斜边的n次方等于两条直角边平方的和的2分之n次方，数学描述：c^n=(a^2+b^2)^n/2，其中c是斜边的边长、a、b是直角边的边长，n、a、b、都是实数。