浅议用字母表示数的几个 “性”

江苏省海门市实验小学  王建生

著名特级教师窦桂梅说：一个教师的专业能力包括两个方面，一是研读教材的能力，二是课堂组织实施的能力。著名数学专 家张奠宙教授说：对教材的把握能力是教师专业能力的根。最近一段时间，我校的青年教师优课展示活动正在如火如荼的开展，我有幸参与其中，深刻地感受到上面这些论述的重要性。

《用字母表示数》是《数学课程标准》重点强化的一个内容，是学生第一次正式接触科学的代数知识。在课程实施过程中，教师能否准确地把握用字母表示数的几个 “性”，直接关系到学生能否建构正确的知识结构，影响到学生今后的代数学习。通过同伴教研，我们对用字母表示数的认识在不断的加深，深刻地感受到小学数学内容看上去简单，但仔细深入思考下去，其实有时并不像我们想象的那么容易，我们初步总结出，要帮助学生建构正确科学的用字母表示数的知识结构，教师自己首先要对用字母表示数的几个“性”有一个科学合理的认识，这样才能恰到好处地对学生进行有效引领与点拨。

简洁性

所谓简洁性，就是字母表示数具有简洁、概括的特性。我们为什么要用字母表示数，我们为什么要让学生学习用字母表示数，因为字母表示数具有其他方式不具有的优越性——简洁。摆一个三角形要用1×3=3根小棒，摆2个三角形要用2×3=6根小棒，摆3个三角形要用3×3=9根小棒，……，这样无限地摆下去，用以前学过的数学知识，永远也说不完，能不能想一个办法，用一句话来简单概括上述摆小棒的根数呢？用字母表示就可以解决这样的难题，表示为a×3。一只青蛙、一张嘴、两只眼睛四条腿；两只青蛙、两张嘴、四只眼睛八条退……无论怎么表达都无法穷尽世上所有只青蛙，嘴、眼睛及腿的条数，但用一个简单的字母就可以一句话简单解决上面的难题。a只青蛙就有a张嘴，2a只眼睛4a条腿。这就是字母表示的优势，用字母表示的神奇，能非常简单明了概括所有与此相关的情况。正因为字母表示数具有如此的优越性，所以数学被称为一切科学之母，世界上所有的万事万物最终都可以归结为用数学的方式表示，这就是我们学习数学，学习用字母表示数的必要。学生在学习过程中如果能感受到字母表示数的如此无穷魅力，相信他一定会被数学的神奇所迷惑，从而树立起好好地学习数学，学习用字母表示数的信念，因为学生是天生的好奇者，对未知世界的无限向往与追求是每一个孩子与生俱来的本能。

可惜的是课程实践中许多老师也没有弄明白为什么学习用字母表示数，仅仅把教学内容当作一种教学任务强加给学生，教师自己体会不到其中的奥妙，更谈不上引领学生体验其中学习的快乐。

辩证性

所谓辩证性，就是用字母表示数时，要用辩证的思维对待。主要包括随机性和确定性，无限性和有限性。

1．随机性和确定性

所谓随机性，就是用字母表示数时，有时可以用这一个字母，也可以用另一个字母，不是确定的，而是随机的。在上面用字母表示数的过程中，青蛙的只数既可以用字母a来表示，也可以用其它的字母譬如b、c……，26个字母中任何一个字母都可以表示，这就是字母表示的随机性，这是以前学习算术知识，用数表示时所不具有的，这也是字母表示数具有抽象性、概括性的原因，正因为字母表示具有随机性，所以字母表示也具有开放性。

所谓确定性，就是用字母表示数，有时又是确定的，就像用数表示一样，根据实际需要，应该用那一个字母就用那一个。字母表示数具有随机性的同时，又具有确定性，譬如一般用字母c表示一个图形的周长，用字母s表示一个图形的面积，用t表示时间，用v表示物体的速度，用m表示米，用cm表示厘米……，在字母表示数的过程中形成了许多约定俗成的做法，所以随机性的同时又包含合理性，确定性。我们对字母表示数只有既有随机性，又有确定性的认识，才能辩证把握用字母表示数。否则学生一定会有这样的疑惑：怎么有时字母可以自己任意取，有时不可以任意取，偏偏要用一个固定统一的字母表示，其实这里就包含了字母表示数过程中的随机性和确定性，字母表示数其本质是随机的，但使用过程中有一个约定俗成，有一个怎样更加合理的问题，既然前人已经接受了这样的约定俗成，那么后来者一般也要遵循这样的约定俗成。

2．无限性和有限性

所谓无限性，就是字母表示数时，代表的可以是任意一个数，数的范围是无限的。而所谓有限性，就是字母表示数时，代表的数是有范围的，是有限的。

在上面有关青蛙的儿歌中，a只青蛙就有a张嘴，2a只眼睛4a条腿，这里的a可以取任意一个自然数；在甲数是b，乙数比甲数多20中，这里的b可以取任意一个数；而在公交车上原来有35人，到了某一站点后下车x人，上车y人，这里的x只能取小于35的一个自然数，而y可以取任意一个自然数。当字母表示数时，有时字母可以表示任意一个数，取值范围是无限的，而有时只能表示某一范围内的一些数，具有一定的局限性，这就是以后函数中的定义域与值域，任何一个用字母表示的代数式中，字母都有其取值范围，并不是所有字母都可以表示任何数，这也是数学学习中的辩证法。在课程实施的过程中，如果我们能把这样的辩证思维渗透在学习过程中，那么建构的知识就符合真实的世界，否则学生就会对数学学习产生怀疑。

数学是思维的体操，数学学习过程中充满了辩证，世界本来只有相对，没有绝对，是相对与绝对中和谐共生。用字母表示数的学习过程中非常明显地体现着这样的思维，随机性与确定性、无限性与有限性，这些充满矛盾的辩证思维对于小学生是比较难以难接受的，是学生以往学习过程中很少能这么集中体会得到的，但正是这样合理性中的开放性，才给我们今后的开放性思维提供了无限想象的空间。尽管学生一时难以深刻理解，但再难，总比我们给学生一个错误的知识要强。

规定性

所谓规定性，就是就是字母表示数时，为了表述的方便，还有其它的一些规定，主要体现在数与字母、字母与字母相乘时。

在用字母表示数时，除了前面谈到的约定俗成外，还有一些特殊的规定：字母与字母相乘，数字与字母相乘时，乘号“×”可以简写成“·”或省略不写。当数字与字母相乘，不管原来式子中数字是否在前，乘号省略时，数字都要写在字母的前面；当1与字母相乘，乘号省略时，1必须省略不写；当相同字母相乘，乘号省略时，必须写成字母的几次方。这是以前学习数的乘法时没有的，特别对今后学习中经常用到的2a与a²的区别，学生很容易受数相乘的影响。为此，有经验的老师会在学生从算理上理解2a与a²的区别后，及时让学生口算，当a=1时，2a是多少？ a²又是多少？当a=2时，2a是多少？ a²又是多少？a=3时，2a是多少？ a²又是多少？应用是最好的理解，对于学生学习的难点，单纯依靠从算理上抽象演绎，很难真正内化，而应用是最好的理解。

加减乘除是最重要的四种数的运算，当用字母表示数后，同样面临这样的四种运算。用字母表示数后，在运算中既有与数一样的规定性，同时又有字母表示的特殊性，就像在课堂上曾经遇到这样一道练习题，用含有字母的算式表示x的15倍，有些学生认为15x不是算式，而有些却坚定地认为是算式，15与x之间省略了“×”。其实认为不是算式的学生尽管有一定的道理，在今后的学习中15x确实可以认为是一个数，但结合本内容的学习，15x确实也可以认为是一个算式，而且是一个简化了的算式，这是字母表示数的双重性，也是字母表示数的优势。数学学习中的辩证法无处不在，对于字母表示数后的这些规定性，我们必须让学生有一个清晰的认识。

【此文发表于《河北教育》2010年第10期】