第二部分 关于“除法”“分数”“比”

数学教学是在重演它发生发展的历史。

虽然我们无法确知一些数学知识发生发展的历史，但通过学生的认知发展去推测它。学生认知的过程也是数学发展史的过程。

学生在讲分数意义的时候，总是说把一个东西平均分成几份，取其中的几份。可见“分”和“取”作为分数最初的起源是有道理的。

小学数学的分数教学分两段，第一段是分数的初步认识，主要通过“分”和“取”来认识分数，到第二段才认识整体“1”，研究作为比较结果的分数。也就是分数的“率”的模型，比率问题。 

问题是数学的心脏。

数学内容的教学总是要提出问题进而解决问题的。“问题驱动”是数学教学的一条根本的教学原理。 

把除法和分数的模型简单化，对于解释数学的本质是有害的。除法有等分除和包含除之分；分数有“量的意义”和“率的意义”之分。

美国的优秀学生，他们在数学本质上理解很深，感受到分数的出现是数学史上伟大的里程碑，是人类文明的体现。丘成桐先生批评中国优秀学生的基础不行，就是指理解数学的深度方面。

分数的出现是人类文明史上具有里程碑意义的一件事，从文化的角度来研究分数的教学也是一个重要的视角。 

分数的本质含义：部分和整体的关系。等分除的问题是从整体到部分，包含除的问题则是从部分到整体，即已知部分的大小，问其整体含有几个部分，部分在整体里占多少。从数学思维上看，二者思维的方向和目的是不一样的。

分蛋糕是分数的几何模型，具有几何直观，更加贴近学生生活，比较容易理解。

“部分占整体的几分之几”，是纯粹的数量问题，没有几何背景，理解时相对困难些，但是它在数学上更为深刻。这一问题直接影响到分数与除法的关系解释，分数除法的颠倒相乘算法，以及对比，比例、百分比等知识的理解与应用等。因此教学中要重点加以关注，反复训练，形成数学直觉，养成数学技能。 

一个量占另一个量多大份额的问题乃是分数单元最核心的本质所在。它将引向分数的比例定义，通向中学的有理数定义。一旦掌握，将终生受用。 

分数是自然数的补充，它和自然数一样有大小。分数的作用就是用来表示比0大但比1小的数。 

数形结合百般好，我们应该充分利用。