基础哲学的数学原理

目 录

绪  论 为数学和理论科学构建新基础

【于事无补的公理集合论】

【丢弃几何直观，数学就不知所云】

【ZFC能判明非欧几何是否正确吗】

【回归古希腊传统，用几何推衍算术和数学】

第一章 形式语言：没有怪论的Li  和不用量词的Lj

§1.1 逻辑的本质是有效演绎那些不可能事件

§1.2 形式语言Li  以及真值函数和矛盾式

§1.3“实质蕴涵”是毒瘤，我们不必再忍它了

§1.4 量词符号是现代逻辑的糟糕发明

第二章 逻辑演算形式系统LI

§2.1系统LI的定义及LI的逻辑恰当性

§2.2 系统LI的逻辑唯一性

§2.3 系统LI的逻辑一致性及演绎定理

§2.4 系统LI的逻辑完全性及定理可判定性

§2.5 系统LI的等价置换规则与语法一致性

第三章 点元空间形式系统LJ

第四章 点元坐标形式系统LK

附  录 哥德尔语句对系统恰当性和一致性的否定

绪论

为数学和理论科学构建新基础

　　G·康托尔（1845～1918）创立集合论之初，“一条线段上的点与全部几何空间中的点一样多”的断语便得到了论证，但这骇俗的结论冲撞人类的理性直觉，康托尔的集合论也遭遇当时的数学权威的反对。但后来随着E·策梅洛（1871～1953）和A·弗兰克尔（1891～1965）等人发展并完善出集合论的公理化系统的ZF，时至今日，关心数学基础的数学家普遍将ZF和选择公理AC构成的集合论公理系统ZFC视为构建数学大厦的合适基础。
　　连续统假设CH堪称集合论中最重要的问题，1900年在巴黎国际数学家大会上，D·希尔伯特（1862～1943）作了《数学问题》的著名演讲，在流传后世的23个著名问题中，连续统假设CH被当作第一个问题提出。在上世纪30年代，K·哥德尔（1906～1978）不仅给出了著名的不完全性定理，而且，还证明了CH与ZFC并不矛盾。哥德尔不完全性定理虽然是一个错误的证明，但它打击了当时人们试图将全部数学和物理学形式化、公理化的热忱。哥德尔不完全性“定理”误导了数学基础研究80余年，它的负面影响持续至今。本书将用第二章专门指出哥德尔在论证不完全性时所犯的错误，以及多年来人们对这个错误论证的哲学意义的错上加错的误读。
　　到了1963年，P·科恩（1934～2007）用力迫法证明了CH不可能是ZFC的一条定理。于是，哥德尔与科恩一起证明了CH相对于ZFC的独立性。如果将ZFC当作构建数学大厦的基础工具，那么，承认或者否认CH是随意的。我们永远不能从集合论的角度来想明白，连续统假设到底是对的还是错的。

【于事无补的公理集合论】
　　我的观点是，CH对于ZFC的独立性表明了在数学世界，“离散”与“连续”之间存在一条“构造鸿沟”，康托尔创立了集合论，创造了（无穷）基数和序数的概念，但最终结果还是令人失望的：集合论连同它的公理化系统ZFC丝毫没有填补在离散与连续之间的构造鸿沟，一方面它发出很多违背理性直觉的惊人之语，另一方面，在付出理性直觉代价的同时，面对集合论框架下自然而然所包含的重要问题却是束手无策——除了让人迷惑，公理集合论对数学基础的严密性和可靠性并没有提供人们预期的帮助。
　　在数学中，我们试图通过“有穷”和“离散”来把握“无穷”和“连续”，就如同我们在哲学上力图通过“物质及其运动”来理解“意识本质”，但这些一直都是困扰人类理性的难题。尽管在认知神经科学领域，人类已经取得了饶有成就的进展，但在物质和意识之间依然存在难以克服的“解释鸿沟”。在力图解释意识体验时，人们所遭遇的困难并非缘于人类科学探索提供的线索依然缺乏，而是因为在哲学上我们存在范畴性的盲点。
　　托马斯·库恩（1922～1996）在其《科学革命的结构》一书中提出了著名的“范式”概念，梳理了科学革命中那些突破旧范式的理性构建模式。现在，在基础哲学和数学基础方面已经到了如此时刻：我们需要新的范式来取代过去的哲学形而上学、知识论、语言哲学和心灵哲学中那些诸如“共相”、“殊相”之类的陈旧的概念体系；我们需要新的范式来取代在数理逻辑和数学基础中那些只产生怪论与困惑的概念与工具。
　　我们将会看到，意识的“解释鸿沟”和连续统假设的“构造鸿沟”都是产生于概念工具的“系统问题”，当我们转换范式之后，原来的鸿沟就消失不见了。也就是说，那些困扰人类的理性的难题并非是来自客观世界，而只是来自于我们历史地选择了的思考世界的陈旧框架。
　　所幸，我们还有其他的范式选择，并且，是一些更好的范式。

【丢弃几何直观，数学就不知所云】
　　由公理集合论ZFC出发，真的能推衍出大部分数学定理吗？借助于互联网，一个称为Metamath的验证计划正在进行。此计划以ZFC为起点，使用一阶逻辑来进行证明，据信目前该计划已经验证了超过一万个定理的推导证明。
　　众所周知，如果用Φ来表示空集，由ZFC来推导出的自然数是被这样定义出来的：
　　0 = Φ
　　1 = {Φ}
　　2 = {Φ,{Φ}}
　　3 = {Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}
　　4 = {Φ,{Φ},{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{Φ,{Φ}}}}
　　……
　　事实上，这种定义自然数的方式是极不自然的，不过，这样定义自然数之后，G·皮亚诺（1858～1932）于1891年所给出的5条自然数公理就可以作为ZFC的定理被推导出来。
　　我们的数学常识是，在一条数轴上，任意两个相邻的自然数之间的距离是相等的，而皮亚诺公理并不能保证这种“等距性”。皮亚诺公理所刻画的自然数有非标准模型，这一直都不是个秘密。考虑如下两数列：
　　1,3/2,5/3,7/4,…,(2n-1)/n,…
　　-1,-3/2,-5/3,-7/4,…,(1-2n)/n,…
　　我们根据数学常识在数轴上标注这些点的序列，再用这样的数轴建立直角坐标系，在由ZFC定义的自然数（和实数）与空间的点之间，我们就可以建立一种非标准的解析几何。假如这种非标准的解析几何的模型是恰当的，我们从常识的标准数学空间“望过去”，仿佛由ZFC所推导出来的数学定理，就都可以装进一个体积为64（即4×4×4）的盒子里。
　　由ZFC来推衍数学，就必然丢弃人类的空间直觉，不能把握空间几何的真理，数轴、直线和平面允许被任意拉伸、扭曲或变形，所谓解析几何也就变成不知所云的符号游戏。
　　正是因此，希尔伯特在1900年《数学问题》演讲中提出的第4个问题“直线作为两点间最短距离问题”，就成了至今无法解决的重大难题。

【ZFC能判明非欧几何是否正确吗】
　　事实上，希尔伯特没有放弃几何直观。1899年，希尔伯特发表了他的伟大著作《几何基础》，公布了他将欧几里得（前364～前283）几何学进行严密的公理化的系统方案。虽说也被认为是现代公理化的典范之作，但与完全符号化（形式化）的ZFC十分不同，希尔伯特的公理系统是用自然语言描述的非符号化的；ZFC的论域只有一个不加定义的对象“集”，而希尔伯特的几何系统的对象有三个不加定义的对象“点”、“直线”和“平面”；ZFC中不加定义的数学关系亦只有一个“属于”，而希尔伯特的几何系统的不加定义的基本数学关系却多达5个——“点属于直线”、“点属于平面”、“一点在另两点之间”、“两线段相等”、“两角相等”。
　　希尔伯特没有对他的几何公理系统的相容性给予证明，而是通过解析几何将他的公理系统的相容性转化为算术的相容性：假如算术是相容的，那么，希尔伯特的几何公理系统就一定也是相容的。
　　然而，假如没有几何空间的直觉和理性，没有我们对空间中点的位置关系和刚性距离的理性把握，我们无论如何也想象不出空间坐标和解析几何。无论如何，抽象的“集”对象和“属于”关系不可能刻画出几何真理。
　　人们一直忽略这样一些重要的问题：希尔伯特在《几何基础》中给出的几何公理都是ZFC的定理吗？我们要用多么巨大的篇幅才能从ZFC中推衍出希尔伯特的“三角形合同公理”？对于人类在数千年前就已经知晓的数学常识，如此的大费周章是值得的和恰当的吗？
　　另一个更加至关重要的问题是：在欧氏几何与罗巴切夫斯基（1792～1856）几何之间，ZFC能否给出何者正确的判明？如果不能判明，那么，ZFC必然需要扩充一条与“平行”相关的公理。
　　若真如此，关于ZFC，我所关心的最后一个问题就是：为了形式化地表述平行公理（或平行公理的否定式），我们是不是需要一本厚厚的巨著来容纳它？
　　依我之观点所见，集合论实在太弱了，由它出发推导出数学的企图实为画饼充饥。我们不可能通过只制定一套人工语言的语法，就把人类的数学理性全都包含进去。比起我们能够想象的最弱的数学形式系统，ZF的“强”只处于最弱的意义之下，即它只是避免了集合论悖论。此后，人们就一再发现所有重要的命题都无例外地与ZF相互独立，选择公理AC是如此，连续统假设CH也是如此。可以断言，几何学中的重要公理也必定与ZFC相互独立。
　　人们必须考虑这样一个问题：一个人工的形式系统，它要多弱就会弱到只是一堆语法？它又需要多强才能成为一套逻辑系统？进而，需要更加多强，才能被视为一套与数学有关的形式系统？
　　我所断言的是，ZFC过于虚弱，它称不上是一套数学形式系统。目前人们用ZFC所定义的“自然数”和“算术”，只是貌似与自然数和算术同构的某些东西，而自然数与算术的数学本质，却从ZFC的指缝溜走了。
　　汉语中与数学最相关的普通日常词汇是“数量”。“数”是抽象的，“量”是直观的、几何的。
　　一个形式系统假如堪称是“数学的”，就必须把握住“数”和“量”的天然联系。而这种天然联系早已植根在人类的古老智慧当中。
　　
【回归古希腊传统，用几何推衍算术和数学】
　　我们可以更靠近人类的空间直觉和理性，回归古希腊以几何为数学根基的传统，再使用现代数理逻辑的形式化、符号化的伟大工具，用一种新的范式来给整个数学提供一个公理化的基础系统。关键是把“空间距离”作为最基本的不加定义的概念刻画到点与点的关系当中。
　　不妨把希尔伯特《几何基础》给出的公理系统简称为希氏几何。希氏几何是传统欧氏几何严谨的现代化的表述。在希氏几何中，“两点决定一条直线”，“三点决定一个平面”，这与欧氏几何是完全一致的。
　　但当我们把“距离”当成基本关系时，就会有“两点决定一个平面”和“三点决定一条直线”：到给定的不同两点距离相等的所有点构成一个平面；给定的不同三个点，假如存在某点到此三个点的距离相等，则所有到此三个点距离相等的点构成一条直线。
　　在希氏几何中，不加定义的基本对象多达3个，即“点”、“直线”和“平面”，基本关系更是多达5个。但把“距离的比较”当成点之间的基本关系之后，“直线”、“平面”、“属于”、“介于”、“合同”等都可以在系统内被定义，不再成为基础对象和关系。
　　简洁性一直是设计公理系统的一个重要原则。我们可以仅用一种基本对象和一种基本关系来构建一个足够丰富的几何公理系统。当然，我们通过向原来的系统中添加基本对象和基本关系就能得到更丰富的数学系统。我不相信单一的系统对象可以定义出所有的数学对象。从简单到复杂，一系列不断深化的数学公理系统，是我们将数学理性推向条理化和严谨化所必须的过程。

　　用字母a、b、c表示点，符号串“abc”就可以表示一种三元关系，即“b到a的距离小于c到a的距离”。只用这一种关系，我们就可以给出一个足够丰富的几何公理系统，并且在后面你将看到，这个公理系统在符号使用上也可以节省到极致。