我的毕业论文
                                 ——量子力学的哲学思考

量子力学先驱：狄拉克
 
    [按语] 本人1966年毕业，恰好赶上WG。不过在六月前，我们的学业尚未停止，仍然照常写毕业论文，照常阅卷打分，正常毕业，甚至连分配方案都公布了。可以说，我们六六级是WG中唯一完成学业的学生。
    这篇毕业论文因为谈“哲学思考”，所以并不深奥，专业术语很少，一般科学爱好者都能看懂。比如“测不准原理”和“波粒二象性”现在许多文科生都在探讨。
    从现在看这篇东西很幼稚，所谓“哲学”无非是矛盾论，辩证法那一套，牵强附会，并没得出什么新颖的观点，很不好意思，有点像鲁迅所说“婴儿的出屁股照片”。之所以拿出来，无非是回看自己青年时代的稚拙脚印罢了。

    量子力学是研究微观世界的一门科学，而经典力学是研究宏观世界的科学。从宏观到微观，线度上量的改变引起了经典力学中矛盾的质的改变，不同质的矛盾必须用不同的方法去解决。因此，量子力学的研究方法与经典力学的研究方法有着质的不同。十九世纪末的科学家们企图用经典力学的方法去研究，都遭到了失败，这也就是形而上学的研究方法的失败。
    经典物理学的困难和用宏观观点去认识微观世界的失败反映了人们主观认识和客观实际之间的矛盾。解决这个矛盾，使主观合于客观实际的唯一途径，就是去进行微观粒子的变革，从实践中得到真知。
    量子力学有两个基本任务：
    一、研究微观粒子的本质。
    二、研究微观粒子的运动规律（即确定微观粒子运动状态）。
    这两个任务是解决不同矛盾的，第一个是解决粒子的微粒性和波动性之间的矛盾，第二个是解决微观粒子运动的内因和外部条件之间的矛盾。
    这对矛盾又是互相联系互相制约的，我们只有彻底地揭示了微观粒子的本质，才能更好地研究微观粒子的运动规律。

                  一、微观粒子的本质

    从经典物理学的困难中我们知道一切微观粒子都是既具有微粒的属性，又具有波的属性的客观实在。波粒概念是互相排斥的，但又统一在一个统一体中。这个统一就通过德布罗意关系式表示出来。
    整个量子力学就是建立在波粒二象性这个概念上的，或者说波粒二象性就是量子力学的主要矛盾。
    测不准关系是量子力学的重要关系，当客观物体的力学量在测不准关系所规定的精确度以外时遵从经典规律，在以内时遵从量子规律。因此，测不准关系是量子力学和经典力学的界限，它反映了从量变到质变的过程。
    另一方面，测不准关系反映了粒子的波粒二象性。

波粒二象性示意图

    波粒二象性虽然是量子力学的基础，但它并不是微观粒子的本质，而只是微观粒子的两种属性。也就是说，微观粒子的本质既不是以波的形式运动的微粒，也不是由微粒组成的波，而是有着更为深刻的统一的本质，只是在不同的外部条件下，它才表现出微粒性或者表现出波动性，认为波粒二象性就是微观粒子的最终本质的看法是形而上学的。
    而研究微观粒子的本质即波粒二象性的实质是量子力学发展的一个方向，或者说其本质正在探讨中，尚未有最终结论。

             二、微观粒子的运动规律

    正因为微观粒子具有波粒二象性，因此，它的运动规律也和经典力学有着本质不同，这个不同就表现在运动规律的量子化和统计性上面。微观粒子的量子化就反映了其微粒性，微观粒子的统计性就反映了其波动性。因此运动规律的不同归根结蒂是决定于波粒二象性的，这就是说，矛盾的性质不同，运动的形态也不同，我们也就该用不同的方法去解决。
    微观粒子的运动状态也就是量子态，要描述一个量子态，也就是要确定微观粒子在这个态中所具有的各种力学量，如坐标、动量、角动量、能量以及微观粒子的量子数，而求这些量的关键在于确定波函数，因为波函数是量子力学中描述微观粒子运动状态最重要的概念。因此我们可以用波函数来描述微观粒子的量子态。
    下面分为两个基本问题，一个是如何确定波函数，一个是如何确定力学量的平均值。

    1，确定波函数
    波函数是描述单个粒子波动性的物理量，它反映了微观粒子的波粒二象性。诚然，波动性具有统计性，它是通过大量粒子表现出来的，然而，共性存在于个性之中，大量粒子之所以有波动的共性，原因就在于每个粒子都具有波动的个性。波动性是每个粒子本身的属性，并不是大量粒子互相影响的结果（电子衍射的实验能清楚地说明这个问题），因此波函数是属于每一个单个粒子的。

“上帝不会掷骰子”是爱因斯坦的名言，表达了他对量子力学随机性或不可精确预期性的不满意。

 
    另一方面，这里的单个粒子并不是单独存在的粒子，它是大量粒子中的一个，是大量粒子的代表。我们研究了这个粒子的波动性，也就知道了大量粒子的波动性，这是因为个性包含着共性，研究了个性也就知道了共性。
    求解波函数的过程，也就是解决微观粒子运动的内因和外因的矛盾的过程。而这个矛盾集中地反映在薛定谔方程中。波函数则是矛盾统一的结果，解出了薛定谔方程，也就是解决了矛盾，也就得到了波函数。从后面可知，定态薛定谔方程是能量算符的本征值方程。
    这种方法应用于处在一维方势阱中的粒子，就得到这种粒子的运动状态，应用于线性谐振子，就得到了这种粒子的运动状态。
    我们主要解决氢原子中电子的运动状态，这是一个两体的库仑场相互作用问题。要解决它，就必须先解决单体的库仑场运动问题。而库仑场是一个有心力场，要解决库仑场必先解决有心力场（即辏力场）的问题，因为我们先后解决了这一系列问题。
    在这个过程中体现了一个从矛盾的普遍性到矛盾的特殊性的过程。
    从氢原子的ω（γ）函数，我们可以清楚地看到粒子的波动性和微粒性的体现。电子在空间并不是按经典轨道运动，而是按照ω（γ）的曲线，以不同的几率出现在不同的位置，这就反映了粒子坐标的波动性。另一方面，在几率中又有极大值，即粒子在这些位置出现的机会最多，这就反映了粒子具有微粒性。
    态叠加原理是量子力学的一个重要原理，它反映了微观粒子的波动性，因为只有波才能如此叠加。
    这一部分的粒子数守恒定律用以讨论几率密度随时间的变化规律，是自然界普遍规律——物质不灭定律的体现，它也反映了微观粒子的波粒二象性。
    首先，守恒定律是以几率形式出现的，这就反映了波动性。其次，守恒定律本身说明了微观粒子的数目不随时间变化，这就反映了粒子的微粒性。

 
薛定谔方程是波粒二象性的数学解释

    2，确定力学量的平均值
    描述量子态不仅用几率的分布，也用统计的总量，即力学量的平均值，因此，如何确定力学量的平均值就成了主要矛盾。
    解决这个矛盾首先从平均值公式出发，这是这一部分的基础。运用算符概念得到了各力学量的平均值公式，但这种公式只有在本征态才能求出平均值，在非本征态是不能求出平均值的。因为只有本征值才是实验中可以测出的确定的量值。
    这里又出现了矛盾，经过讨论我们知道，力学量在本征态具有确定性，在非本征态虽然不具有确定性，但它取各个确定值的几率却是一定的，因此，求非本征态平均值又归结为求本征态的力学量的问题了。这就需要非本征态用本征态来表示，也就需要运用态叠加原理和本征函数的完全性。
    但是，把非本征态表示为本征态后，还不知道本征态的力学量，又出现了矛盾，解决这个矛盾的方法是求解本征值方程。
    在从本征值方程中求出力学量（即本征值）以后，还必须应用本征函数的正交归一性，才能最后确定非本征态的力学平均值。这整个过程，也就是一个不断揭示矛盾而又不断解决矛盾的过程。
    然而我们要完全确定体系的一个状态，仅仅求出一个力学量是不够的，需要一组能够完全确定体系的一个状态的所有力学量，即力学量的完全集。显然这一组力学量必须在这一个态中都具有确定值，这样，我们就引入了算符的对易的概念。那一组力学量必须相互对易。测不准关系所指出的，就是两个不对易的算符的力学量，不能同时在一个态中具有确定性。
    在解决这一矛盾的过程中，我们引入了算符概念，算符是量子力学的一个重要工具，不仅如此，它还能反映量子力学与经典力学不同的特点。
    我们引进了算符后，使量子力学的规律有了与经典力学相似的形式，但量子力学中的算符又与经典力学的力学量有着本质不同，从这种比较中能反映出量子力学的特点。
    我们从前面看到，解决求量量子力学的平均值这样一个矛盾有以下几个要求：
    一，要求本征值是实数；
    二，要求能够应用态叠加原理，也就要求力学量算符是线性的；
    三，要求任何一个态都能按本征函数系展开，即要求属于力学量算符的本征函数系具有完全性。
    只有线性厄米算符才能满足上面这些要求。
    正交归一性表明了一个体系的两个态不能同时出现，当体系处在某一态，那么这个态出现的几率就为1，这就反映了一个体系的两个态之间也是对立统一的。它们互相排斥，却又都属于同一个体系，统一于同一个体系之中。
    完全性说的是任一个状态都能用本征态叠加而成，这实际上就是态叠加原理的应用，也就反映了波动性。

    3，近似方法
    对于波函数问题，我们在第二章已经从理论上解决，但是在实际问题中，由于受到微扰，体系的哈密顿算符往往比较复杂，使我们不能精确求解，这样我们就必须用近似方法，在这实用中有很大的价值。
    在近似方法中体现了这样一个思想，微扰是一种外因，外因对于事物只能引起量的增减，场所的变更，不能引起质的变化。因此在受到微扰以后，微观粒子仍然具有波粒二象性，仍然可用薛定谔方程求解其运动规律，即在本质上与没受到微扰是一样的。从求得结果中，我们又可以看出，无数波函数、能量都出现了量的增减，即修正值。
    我们在前面讲到的问题，都是定态情况中的，本部分将讨论定态和非定态两种情况。显然，定态只是非定态的特殊情况，然而，特殊性中包含着普遍性。我们研究了定态之后再研究非定态就更加任意了。
    定态中主要解决一级斯塔克效应问题，氢原子的能级分裂事实上就是当氢原子受到微扰后，能级从简并到非简并的一个过程。因此我们必须分别研究简单情况下的定态微扰理论，和非简并情况下的定态微扰理论。
    在非定态问题中，我们主要解决跃迁几率问题。跃迁事实上就是当体系受到非定态微扰后，由一个量子态变到另一个量子态的过程。正是因为求出了跃迁几率与频率之间的关系，我们才知道了原子的光谱线的由来。
    光的发射吸收，选择定则，都是跃迁几率在实际问题中的应用。
    碰撞理论是有关微观粒子的波粒二象性理论在碰撞问题中的应用。一个粒子被散射后并不分为两个，只是改变其方向、动量，继续前进，这就反映了粒子的微粒性。大量粒子在散射后出现平面波和球面波，又反映了粒子的波动性。
    其中心问题是求出散射截面，而散射截面实际上是个几率分布概念，对于某个散射角θ、φ，散射截面大，则粒子在θ、φ方向上散射的几率也大。
    分波法和玻恩近似法是在低能和高能情况下对散射截面的进一步讨论。
    散射截面在实际问题中有很大用处，如原子物理中射线的吸收问题。