同学邮件在讨论的这道题，大家已经有多种解法，下面这种解法也许是最简洁的，是现在在香港的叶同学多年后顺便解的。数学似乎离我很远了，这么一道单纯、美丽的题目，让我怀念以前美好的数学时光。贴到博客上，谨作为纪念吧！

问题：任意投n个点在圆周上，问它们同时落在一个半圆上的概率是多少？

解： 用O表圆心，从投下的n个点中，任取一个点作起点，顺时针方向进行编号为P₁，P₂，. . .  P _n ，过P₁，P₂ . . . P _n作n条半径，用X₁，X₂，. . . X _n表相应的圆心角的值。易知有X₁，X₂，. . . X _n > 0 ， 且： 

                                  X₁ + X₂ + . . . + X n = 1   （#）

上式中的1表示360 ^o 。从（#）易知：P₁，P₂，. . . ，Pn， 同在一个半圆上， 当且仅当（#）式中 有一个X_i > 1/2（i = 1 ，2，. . .，n ）。先考虑X₁ > 1/2 的概率，为此过P₁作直径P₁OP，易知此时P₂，P₃，. . . Pn 都落在顺时针方向的半圆弧PP₁上，显然，此事件的概率是1/2^n-1；再考虑X₂ > 1/2的概率， 过P₂作直径P₂OP，易知，此时P₃，P₄，. . . ，Pn， P₁都落在顺时针方向的半圆弧POP₂上，同样，此事件的概率也是1/2^n-1 ；. . . ；最后，考虑X _n > 1/2的概率，过Pn作直径PnOP，易知，此时P₁，P₂，. . .P_n-1都落在顺时针方向的半圆弧POPn上，此事件的概率也是1/2^n-1。注意到以上n个事件相互独立，（因不同的X_i ，X_j > 1/2，导致X_i = X_j = 1/2 ，且其它X_k = 0 ，这是0概率事件，可不考虑）。又注意到以上论证所得结论，与最先取哪一个点为P₁无关。所以，n个点落在同一半圆上的总概率是n/2^n-1 。

注释：同此题的解法，可将此题推广，并得结论：n个点同时落在一个对应圆心角为X （0< X < 1/2）的弧段上的概率为n/X^n-1 。