2008尖子仁华预备三升四(L and Y)

第六讲 等差数列   

一、主要知识点：

若干个数排成一列，称为数列。数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中数的个数称为项数。

从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。例如：等差数列：3、6、9 …… 96，这是一个首项为3，末项为96，项数为32，公差为3的数列。

计算等差数列的相关公式：

通项公式：第几项＝首项＋（项数－1）×公差

项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1

求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2

平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2

在等差数列中，如果已知首项、末项、公差。求总和时，应先求出项数，然后再利用等差数列求和公式求和。

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　　这个定理称为中项定理.

二、例题：

1、已知等差数列2、9、16、23、30…，那么数列的第26项是多少？ 

【分析】观察，找出规律。

【解】公差：9-2=7

      第26项：2+（26-1）×7=177

【答】略

【验算】略

2、已知一个项数为131的等差数列公差为7，并且末项为1257，求首项？

【解】1257-（131-1）×7=1257-910=347

3、已知等差数列2、9、16、23、30…，那么709是其中的第几项？

【解】709-2=707，707/7=101,101+1=102

4、已知一个等差数列的第35项为546，第70项为1806，求公差为多少？

【解】（1806-546）/（70-35）=1260/35=36

5、已知一个等差数列的第35项为546，第70项为1806，求第100项是多少？

【解】公差：（1806-546）/（70-35）=36，

      第100项：1806+36×（100-70）=2886

6、求101+102+103+…+999

【解】（101+999）×899/2=494450

7、已知一个数列可以表示成4+2，5+8，6+14，7+20，8+26…。最后一项的和为699。求所有项之和。

【解】首项：4+2=6

      公差：5+8-6=7

      项数：（699-6）/7+1=100

      总和：（6+699）×100/2=35250

8、有一个班的同学学号从1开始编排：1，2，3，4，5，6，7，…。某一天有一个同学没有来，到校的同学学号的总和为880。求哪一个同学没有来上学。

【分析】880×2=44×40，则推断可能性有：44×43，43×42，42×41，41×40四种，分别除以2得到总和，总和大于880只有44×43，43×42，排除了两个。44×43/2-880=66，超过了44，排除。最终结果为43×42/2-880=23.

9、从小到大连续11个偶数的和为594，求第三个偶数是多少？

【解】方法一：（中项定理）594/11=54，54-2×3=48

      方法二：594×2/11=108，（108-2×10）/2=44，44+2×(3-1)=48

10、一个等差数列一共有13项，公差为11，若已知这个等差数列的和为3926，求在这个数列中最小的数为多少？

【解】第7项为：3926/13=302，

       最小的为：302-（7-1）×11=236

三、练习题：

1、小明读一本课外书，第一天读了15页，以后每天恰好都比前一天多读3页，最后一天读了78页，那么他一共读了多少天？ 

【解】（78-15）/3 +1=22

2、求6+11+16+21+…+501。

【解】项数：（501-6）/5 +1=100

      总和：（6+501）×100/2=25350

3、从小到大连续12个奇数的和为600，求第三个奇数是多少？

【解】600×2/12=100    

      第六项：（100-2）/2=49，

      第三项：49-2×（6-3）=43.