人教版义务教育教科书三年级上册《长方形和正方形》单元是学生探究多边形特征的起始单元，该单元的第一小节《认识四边形》是一节典型的“种子课”。这节课的一个重要任务是培养学生的空间观念。空间观念的培养主要依托数学课程中“图形与几何”的学习。人教版小学数学教材中“图形与几何”板块“图形的认识”教学内容编排结构如下表所示。

从表中可以看出，三年级上册第七单元《长方形和正方形》就是极具基础性和发展性的单元。学生一年级直观认识了立体图形和平面图形之后，这个单元是学生正式深入认识图形的开始，后续学段探究其他平面图形和立体图形特征的方法以及空间观念的建立，都是以《长方形和正方形》单元的学习作为基础的延展性学习。所以，这是一个典型的起始单元。那么，如何利用《长方形和正方形》起始课的特点，迈出坚实的第一步，让学生为空间观念的持续发展积累有效的活动经验呢？ 

一、由体到面，开启平面图形探究的大门

人们在生活中看到的都是“体”，生活中没有独立存在的“面”和“线”，即“线在面上”，“面在体上”。体会“面”与“体”的关系是培养学生空间观念的重要环节。小学数学课程中“图形的认识”的编排呈现了从立体到平面再到立体的线索。

基于整体把握的理念，教师有必要让学生明确：从这节课开始的一段时间里，将要进一步研究的都是平面图形；还有必要让学生初步了解为什么要探究平面图形，认识平面图形就是认识了立体图形的局部，认识平面图形才能更好地认识立体图形。那么，课前导入的“三部曲”，教师的语言组织就要有所讲究了： 我们生活中各种各样的物体都是立体图形，笔盒是什么形状的？魔方呢？你还认识哪些立体图形？把这些立体图形的一个面画下来就是一个平面图形。你认识哪些平面图形？每一种图形都有与众不同的特点，从这节课开始，我们先来研究一些平面图形的特征。

学生了解了学习的线索，才会有更主动有效的探究学习。以上的交流辅以PPT呈现立体图形，抽出平面图形，强化“面在体上”的关系，既突出了“学什么”和“为什么学”的问题，又将为五年级借助平面图形探究立体图形埋下伏笔。

二、从边到角，探寻平面图形特征的方向 

“边”和“角”是构成平面图形的两大要素，也是探寻平面图形特征的基本方向。如果《长方形和正方形》单元能帮助学生了解平面图形构成的要素，积累探究图形特征的经验，学生后续就有可能主动地从“边”和“角”两方面探究其他图形的特征。因此，基于“整体把握”的理念，本单元要突出对图形基本要素的关注，孕伏图形特征探究方向，积累从“边”和“角”两方面探究图形的活动经验。

《长方形和正方形》单元中“认识四边形”的编排是让学生在一组图形中识别出四边形，再概括出四边形的特征。学生识别出四边形不困难，而且都能尝试着描述四边形“边”或“角”的特征，只是观察认知不够完善、语言表达不够准确。

没有孕伏意识的教师在此环节，往往只会关注引导学生继续观察边角的特征，规范语言表达。由于没有明确地把“边”和“角”的特征与图形特征关联，学生的探究停留在内隐的潜意识层面，难以提升到外显的、有意注意的层面。具有整体把握意识的做法应该是适时发挥教师的主导作用，在学生汇报交流时，一旦有学生描述四边形“边”或“角”的特征，教师就应该及时捕捉课堂生成问题，评价引导：“这位同学观察的是四边形的角，还可以观察四边形的什么部分？”“这位同学是从‘边’的角度观察的四边形。四边形的边还有什么特征？”

随着探究的不断推进，学生完善了四边形的认识。这时，教师有必要为学生初次探究图形的特征作如下总结：四边形边的特征和角的特征就是四边形的特征。今后我们也可以从边和角两方面研究其他图形的特征。同时将关键词“边”“角”板书在相应的图形特征处。如此突出“边”“角”与图形的关联，提炼出图形特征的探究方向，无疑能强化学生图形要素的意识，使接下来正方形特征的探究有了明确的方向。

应该注意的是，学生对一些知识的理解往往不是一次完成的，需要逐步深化、提高。到四年级学习了平行和垂直以后，还要从边的位置关系拓展，丰富对长方形正方形特征的认识。彼时，教师仍然要重视以什么样的角度探究图形特征，使学生逐步积累自主探究图形的活动经验。

三、从直到曲，积累平面图形探究的经验 

学生在探索图形特征的过程中，往往不擅长研究曲边图形。如果能在研究直边图形的起始阶段引导学生主动寻求探究方法、选择探究工具，这种状况将会得到一定的改善。

四边形边角的特征通过看一看、数一数即可提炼出来，长方形、正方形的边角特征，需要更复杂的操作活动才能获得。操作之前有教师这样提出要求：“请同学们拿出直尺和三角板，量一量、比一比，看看长方形的边和角有什么特点？”

显然，这是担心学生面对图形不知所措而充满暗示的启发。学生都能动手了，但“为什么要量（折）”“为什么用尺”的思维活动被教师替代省略，这种操作活动能探出图形边角特征的结论，却探不出研究图形的活动经验。那么，以后再探究周长时，遇到曲边图形，原有的操作经验用不上，解决矛盾的经验又没有，学生的探究推进就困难了。

为了让学生在操作中获得具有发展性的活动经验，教师在探究动员时应该适当回避工具和具体方法的提示，适当留下伏笔，让学生在摆弄图形的过程中真正经历探方法的过程。最初，的确有学生面对图形时感到茫然，探而不得。事实上，学生在独立思考和同伴互助之下，最终还是能想出有效办法的。

后续在研究曲边周长时，也应该延迟提供测量曲边的操作工具。先让学生探究直边，借助常规工具研究测量图形周长，发现直尺不能直接测量曲边后，使学生产生质疑，教师再提供线绳或软尺。事实上，在不知道教师可以提供化曲为直的辅助工具时，就有学生被“逼”出了靠直尺滚动图形的活动经验。

在上述曲折的操作活动中，学生体会直边、曲边与测量工具尺之间的联系，丰富空间感受，思维被撬动，主动积累了化曲为直的活动经验。有了此处的孕伏，“图形与几何”板块“认识图形”的内容循序渐进地安排在不同学段，只有以整体观把握课程，兼顾和利用好课程内容的前后联系，才能在达成课时目标的同时，让学生获得空间观念的能力，为后续知识的学习做好准备。

重视每一节起始课，抓住起始课中基础性、发展性的关键点，就犹如在教学中播撒了一粒种子，种子发芽生长之际，我们将看到学生主动探究，可持续性学习的良好态势。

（作者单位：武汉市青山区教科研中心）

兼职编辑  董艳

责任校对  张敏

加法起始课是整个小学阶段学习运算意义的起点，作为后续学习数的运算的发展基础和延伸点，其重要性不言而喻。下面以北师大版数学一年级上册第二单元《加与减（一）》的第一课《一共有多少》为例，谈谈如何上好数学加法起始课。

一、创设情境、提出问题，初步感知合并

一年级的学生对加法有着丰富的经验，但他们不知道这类问题要用加法来解决。教学中，教师创设充满童趣而又有数学含量的动态化情境，能有效激发学生的学习兴趣，促进学生用数学的眼光关注情境，用数学思维理解情境，进而初步体验加法的意义。

师（示范）：老师今天带来一些铅笔。仔细观察，说说老师是怎么做的。

生1：老师一只手拿了3只铅笔，另一只手拿了2只铅笔，然后把两只手里的铅笔合在了一起。

师：根据刚才的动作，你们能提出一个数学问题吗？

生1：一只手拿3支铅笔，另一只手拿2支铅笔，合起来有5支铅笔。

师：你用“合起来”来描述，很棒，但提问题是不能把答案提前告诉大家的哦。

生1：一只手拿3支铅笔，另一只手拿2支铅笔，合起来有多少支铅笔？ 

师：你能正确提出数学问题了！ 

生2：一只手拿3支铅笔，另一只手拿2支铅笔，一共有多少支铅笔？

师：你也会提数学问题了，你刚才把这个动作（双手合在一起）用“一共”来表示，对吗？

生2：因为“一共”就是“合起来”。

师：请大家用“一共”这个词再把这个数学问题说一说。

 “有多少支铅笔”这个情境，为学生提供了多样的加法原型支撑，情境的动态呈现为学生所学知识与生活之间搭建桥梁，把抽象的加法问题具体化，丰富了学生对加法意义的感性认识，为构建加法模型奠定了基础。

二、直观操作、探究算法，形成加法表象

学生对数的认识是在数数的过程中发展起来的。数数是学生学习加减法运算的基础，也是探索计算方法的起始。充分利用学生数数的经验将数的认识与数的运算有机结合，引导学生动手操作、自主探究，让学生在数的过程中体会计算方法，体验加法运算的意义，形成加法的表象。

师：老师一只手拿3支铅笔，另一只手拿2支铅笔，一共有多少支铅笔？数一数。

生1：5支。

师：怎么数出来的？ 

生1：一支一支地数出来的。

师：有不一样的数法吗？

生2：我是从3开始数的。（一只手指着教师手中的3支铅笔，数出3，接着数另一支手中的4、5）

师：你为什么要从3数起呢？

生2：因为我已经知道这边有3支，我就接着从3数起。

师：和前面那位同学从1数到5相比，大家喜欢哪一种数法？为什么？

生（齐）：喜欢第2种数法，从3往后数更快些。

这个片段，教师重视学生对加法意义的体验与感知，让学生充分经历了数的运算的直观操作过程，渗透了计算的策略——数。教师借助铅笔实物数给大家看，学生知道了可以一支一支地数，也有了对“从3往后数”的初次体验，而“从3往后数”也让学生认识到要把后面的2个合并到前3个中。这既是对情境的理解，也是对加法意义的进一步认识。

三、抽象算式、揭示本质，建立加法模型

小学生形成数学概念一般要经过“直观感知—建立表象—揭示本质属性”三个阶段。直观感知和建立表象是建立概念的基础，概念本质属性的揭示是概念教学的关键。在此基础上引出加法概念，建构加法模型就可以水到渠成。

师：一共有多少只铅笔，是把3和2合起来得到5，怎样用算式表示呢？

生（齐）：3+2＝5。

师（板书）：谁能说一说，这里的3、2、5分别表示什么？

生1：3表示一只手里有3支铅笔，2表示另一只手里有2支铅笔，合起来一共有5支铅笔。

师：把两个部分合起来就要用加法。你还能找到一些用“3+2＝5”来解决的数学问题吗？

生1：桌子上有3块橡皮，又拿来2块橡皮，一共有多少块橡皮？

生2：停车场里有3辆汽车，又开来2辆汽车，一共有多少辆汽车？

生3：教室左边墙上有3幅画，右边有2幅画，一共有多少幅画？

生4：我有2本课外书，妈妈又买回来3本，一共有多少本课外书？

……

师：刚才同学们提出的这些问题，有的是求一共拿了几块橡皮，有的是问一共来了几辆汽车，有的是问一共有多少幅画，还有的是说一共有几本课外书，为什么它们都可以用“3+2”来解决？

生5：虽然说的事情不一样，但都是把3个和2个合起来，所以都可以用“3+2＝5”来表示。

“一共有多少块橡皮”“一共有多少辆车”“一共有多少本课外书”等，学生寻找到这些生活原型，说明他们已经将身边的事物与加法概念联系在一起，意识到了“3+2＝5”是对许多生活事例的提炼。此时教师的有效追问：“为什么它们都可以用3+2来解决？”促进学生提升了思维，内化了合并的含义，建构了加法模型。 

（作者单位：枝江市仙女镇仙女小学）

责任编辑  张敏

小学数学起始课，即某一个单元或某一个知识领域的第一堂课，起着承上启下的作用。起始课的教学内容、教学技能、教学思想、教学活动等与后面的学习有着密切的联系，起始课上得好，后面的教学会事半功倍。怎样上好起始课，笔者结合人教版教材的一些例题，谈谈起始课教学的策略。

一、动手操作，理解概念，形成表象

课标指出，学生学习应当是一个生动活泼的、主动和富有个性的过程。教学中，教师适当设计动手操作的环节，让学生在操作中理解数学概念，能让枯燥无味的数学课变得生动活泼，让数学概念在学生的动手实践、积极思考中得到深化。

人教版二年级下册《表内除法》中，“除法的初步认识”的第一课时内容是平均分。除法的初步认识是学生学习与除法相关知识的基础，而除法的含义又建立在平均分的基础之上。什么是平均分？大部分学生缺少这方面的生活经验，所以让学生在理解平均分的实际含义的同时，在头脑中形成表象并且留下深刻印象，是这节课的教学重点。

为了突破重点，教材从生活中的“分东西”出发，结合学生的实际情况，让每个学生准备6个圆片，在课堂练习时把6个圆片分成3份。实际教学中，学生独立分完后出现了以下三种情况：

当学生把6个圆片按照自己的想法分完后，教师引导他们用语言叙述每一种分法的具体情况，并仔细观察第一种分法中的每一份有什么特点。学生在仔细观察、思考后得出结论：每份都是2个，也就是每份都是同样多，而第二、三种“每份不是同样多”。在“平均分”和“不平均分”的对比中，学生加深了对“平均分”的直观认识和理解。

二、弄清知识起点，激发学习兴趣

学生的知识起点是指学生在学习某一个知识点之前已有的知识经验、能力、情感态度起点。学生已有的知识经验能力情况、对数学的认识和喜欢程度等直接影响起始课的课堂有效性。

人教版三年级《长方形和正方形面积》是学生第一次学习计算图形的面积，它是一节起始课。这节课是学生学习平行四边形面积和一些立体图形面积计算的基础。学生能否掌握并理解长方形和正方形面积的计算方法，将直接影响后面学习几何图形面积的计算。所以，教师在准备起始课时应该引导学生回顾长方形和正方形的基本特征、面积的意义、面积单位，以及1平方厘米、1平方分米、1平方米等，让学生感受数学学习是一个循序渐进的过程。

三、运用场景图，渗透数学思想

小学生的逻辑思维能力、空间想象能力比较弱，而在数学学习过程中逻辑思维、空间想象能力是不可或缺的。怎样让抽象的数学问题转化成学生容易理解的方式，让逻辑思维能力和空间想象力得到有效的发展，通常的做法是，合理运用场景图，让抽象的问题直观化、复杂的问题简单化，帮助学生建立数学模型思想。

人教版二年级上册《表内乘法》中，《乘法的初步认识》是起始课。掌握并理解乘法的意义可以帮助学生正确理解、运用乘法口诀，为解决相关的乘法问题提供依据，也是后面表内除法和多位数乘法的基础，所以上好这节课至关重要。

教学中，教师先引导学生从他们喜欢的、熟悉的生活场景图中理解乘法的意义。教师出示下面三幅图：

学生根据已有的知识，知道三道题都可以用加法计算，即：3+3+3+3+3=15，5个3相加；6+6+6+6=24，4个6相加；2+2+2+2+2+2+2=14，7个2相加。通过场景图、加法算式和文字的对比，学生理解了加数相同时可以用乘法表示、几个几相加时可以用乘法表示。从具体形象的数学场景图中理解乘法的意义并建立乘法的数学模型，为后面相关的乘法知识奠定了基础。

   （作者单位：咸宁市通山县通羊第四小学）

责任编辑  张敏