【张丹老师】：计算教学是非常好的的一个话题，也是新世纪小学数学这几年一直在研究的课题，这里有三个读懂：一个是读懂教材，二是读懂学生，三是读懂课堂；读懂学生就是必然要了解、研究学生，在研究学生的基础上对计算教学进行研讨，这个主题是非常好的。不仅仅在理念上或者感觉去讨论一些问题，而是针对具体去研究学生。刚才主持人提了一个问题，研究学生的什么问题和怎么去研究？这是一个非常好的问题也是一个难以回答的问题。如果要全面的回答出来的话，可能要花很长的时间，所以我就概要的说一说。读懂学生主要是要读懂这么几个方面：

第一方面就是要读懂学生的知识基础。这个对于我们老师并不是什么新鲜的内容，要了解学生他在知识方面有些什么样的基础，对过去学生学的知识以前掌握的如何？这个就不详细说了；我想特别说的就是后面的两点，也是新课程以来大家特别关注的。

第二方面就是要读懂学生的经验。经验这个问题是大家特别关注的问题，老师们知道在课程标准的修订中，已经把双基变成了四基，就是已经把我们的基础知识、基本技能变成了基础知识、基本技能、基本经验和基本思想。已经把经验和知识、技能、思想相并列，作为一个核心词。作为我们老师，也应该非常关注学生的经验，我想经验又包括了两个方面，一方面是他的生活经验，一方面是他的学习经验，生活经验大家好理解，特别是学习经验，非常的重要。也就是我们老师在了解我们的学生，在没有学习知识，在没有学习计算之前，他已经有了什么样的经验。这里我举个例子：临时想起，不一定贴切。这个例子是我儿子的例子。他今年五岁，是个特别有意思的孩子。在他曾经很小的时候，就会很快地数数，他在1岁左右就能把100以内的数了，到三、四岁的时候，我就问他一些减法的问题，这个孩子实际上在数学方面是有天分的。但是5-3呢，他一直等于1，后来我就问他，问什么5-3等于1呢？他还是用数数的方法，他很简单，3、4、5，3和5之间就差一个4，所以结果就是1。了解了他这个以后我才知道，这个孩子缺乏一个什么经验，他真正具有的是数数的这个经验，他缺乏的是要减5减3，一种一一对应的经验，如果用5-3，用5个跟3个一一对应，很显的，5-3的结果是2。所以，我们老师既要了解他这个经验，要奠定他这个经验。这可能跟我比较注重在他小时候教他数数有关，但缺少了让他摆呀，对齐、一一对应的思想重视的不够。通过这个例子，我们要了解学生的生活经验以及他的学习经验是什么。

第三方面，非常重要的是了解学生的学习困难。特别是对于计算教学，教师的最大困惑是面对学生的错误或者困难。那么我们就要了解学生困难的地方到底在哪里？困难的原因是什么？然后我们才能有针对性的教学，这里我想应用吴正宪老师说过的一句话，吴老师在聊天的时候说，实际上我们老师不仅仅要了解学生哪疼，而且还要了解哪根神经的哪根末梢在疼，这个比方非常形象。不仅仅我们要知道学生在算小数乘小数的时候有什么困难，错误，而且我还要知道是在哪个问题上的错误，还要知道他错误的原因是什么，我才可能帮助他学习。吴老师给我们提供了一个经验，她曾经为每个学生做了一个大表，她关注学生能关注到什么程度呢？他能够知道一个学生比如说小明在算哪个乘法口诀中哪个口诀他出错。她非常细心，给学生做了一个大表，横排是每个学生的名字，纵列是重要的知识点，这样他就不仅知道那个孩子出错，而且还知道在哪个地方出错，她的一个非常常用的方法是对于错误的孩子错误的地方就时不时地帮助学生去巩固，并不是让学生做很多的题，而是很自然的。比如说：七八五十六，这个孩子总是出错，他在后面学两位数乘一位数，三位数乘一位数时，也会遇到七八五十六这样的问题，她就会专门找这个孩子多背背这个口诀。时间长了，孩子自然就会了。但要做到这一点，就必须要了解到学生的学习困难。

还有一个就是我最近比较关注的，就是关注、了解学生的学习兴趣。到底选择一个什么样的情景能真正激发学生的学习兴趣？这是我们需要思考的问题，比如对于计算教学，我们需要设计大量的练习，这是必要的，但是什么样的练习能够真正激发学生的兴趣，这个问题是我们必需要思考的。

简单说起来，就是我们要了解学生的知识基础、经验基础、学习困难和他的一些学习兴趣，我觉得老师们要特别关注第二、三点，就是他的经验基础和学习困难。

第二，老师可能有疑问：“那怎么去了解学生呢？”现在我们强调的就是方法，常用的是四种方法。

第一种方法是了解学生，做课堂观察。也就是我们老师课堂中不仅仅是教学者和引导学生学习者，还是一个细心的观察者。如果我们在课堂上能够捕捉孩子常见的问题或者孩子常见的思路，并且及时记录下来，对于了解学生是很自然的。所以我们老师上课要上得从容一点，现在一些老师上课上得比较茫然，设计了很多活动，这样他就没有时间去观察学生，不如砍掉一、二个活动，把时间真的仔仔细细得去观察、了解学生，是一个很好的方式，同时也是一个比较可行的方式，不用再额外的做很多事情。

第二个就是我们经常说的作业分析。作业分析实质上是老师们了解学生一个最重要的途径。一个有心的老师他会根据学生的作业来记录一些作业孩子常见的思考，以及一些常见的问题。

除此之外，还有一些专门的方法，比如学生调研，访谈法，与问卷调查法，访谈法就是找些学生去聊一聊，问卷调查法你可以设计一些问卷，了解全班的一种情况。有很多老师说，我们没有很多这样的时间去做调查，但是你要有一个这样的调查意识。有了这个意识之后，你就可以及时地捕捉信息，倒是不见得每节课你都要正式地做这个调查。比如说，每节课都发一些作业纸或小的题目，我听过很多的课，几乎没有一个老师在课下把学生作业纸收起来。什么意思呢？做完了，这些纸都要让孩子带走，很多孩子没有保留这方面的经验，没有这个想法，可能这张纸就浪费了。如果老师很自然把它收起来，时不时来翻一翻，就会了解哪个学生在哪个方面仍然错误的，就会大致了解这个学生的情况。

感谢主持人提出的很好的问题，对于这个问题，我就简单地回答到这儿吧！

【主持人】：谢谢张老师，刚张老师对于什么是读懂学生，怎样读懂学生，给予简要的介绍，说得虽然是简要对我们来说却是很有用的。就是体现了从以教为本，到以学为本，体现了本质上的一个变化，教学内容可以一样，教学方法不同，教学方法不同的起点在哪里呢？是在于学生。学生读懂了，你的教法，你课堂才会是更有效的。今天所提出来的相关教学问题是在读懂学生基础上的一些问题与困惑，请各位老师围绕这个主题来进行探讨。

我们在读懂学生这方面，我们已经有了初步的了解，但对于计算教学，课程改革之后都有了很大的变化。以前我们所说的双基教学非常扎实，然后又将双基又改成了四基，教师对于计算教学核心任务的把握是犹豫不定的，不知该如何处理，你能不能给大家谈一下关于计算教学的任务，以及第一和第二学段相关计算教学的核心或是标准都怎么把握？

【张丹老师】：计算教学的核心任务是什么？这是一个非常大的一个问题。首先，需要对它有个界定，我的理解先不包括解决应用问题，先把它定位在这儿。如果再包括解决问题的话，那范围就更大了。关于纯，我们单纯不包括解决问题的计算。还得分清有不同，一个是估算，估算是新增的内容。还有一个是我们常说的精确计算，包括口算、笔算，使用计算器等等。

首先，是精确计算。是关于口算、笔算和计算器的这些问题。对于这些问题，就是我们原来所熟悉的计算技能这部分要求。第一个就是理解算法，理解算理，算法的自动化，挖掘计算教学其它方面的价值。

下面分别阐述一下。在计算教学当中，主要解决的就是这几个问题：

第一个，是理解算理。学生不仅要会算，还要知道我这样算的一些道理。对于这个来说，最核心的就是要用多种方法帮学生来理解我为什么这样做。为什么要强调多种方法呢？因为学生的思维方式是多样的，有的孩子适合形的思维，有点孩子适合数的思维，有点孩子适合动作的，有的适合结合生活情景，老师最大的责任是给每个孩子一个学习的机会，教材和老师们做得比较好，利用生活的一些东西，比如说元、角、分来体会算理，比如些利用一些几何上的模型，包括我们教材中的小方片、小长条、小棒等等，采用多种方式，来帮助学生理解算理。还有老师采用数的分解来帮助理解算理等等。这部分非常重要的，老师们不要以为这个时间我可以省去，去做其它的事情。古语有句“磨刀不误砍柴功”，这是需要非常重视的一件事情。具体来说，到底每一个运算它的算理什么？这是一个非常好的研究话题。举个例子，比如，我们平常习惯于说：“我们交给学生的是一些法则，不是真正的算理。”什么意思呢？比如在小数加减法，我们总是要强调小数点对齐。小数点对齐不是一种算理，而是一种方法，或者叫一种法则，你要让学生理解，为什么要小数点对齐？小数点对齐的道理是，要使小数点对齐，它的计数单位就对齐了。这样一来，个位可以跟个位对，十分位可以跟十分位对，百分位可以跟百分位对。这样，在同一个单位上的东西就可以进行加减。有的老师用小方块、小长条，小片，孩子也说得非常生动：“我要把，条和条对齐，片和片对齐小方块和小方块对齐。”如果老师总是强调小数点位置要对齐，不给学生去讲背后的道理或者不让他充分理解以后再提这句话的话，孩子会产生在乘法里小数点仍然对齐的错误。在做乘法的时候，一个常的问题就是比如1.25×1.3，有些孩子仍然小数点对齐，当然这也是可以算出来的，比如你把1.3补成是1.30，按照三位数乘三位数（只是打个比方）这样去做，也能做出来，就是比较麻烦，孩子就容易出错。有些孩子就忘记了，把1.25和1.3的小数点对齐，导致了后面的一些错误。问他为什么呢？很大的一个原因就是小数加减法小数点要对齐的负的迁移，这个时候老师就要帮助他理解小数点对齐背后的道理是什么。理解算理，是个非常重要的事情。这里我想强调两点：一是用多种方式让孩子们理解算理；二是在一起研讨，哪种运算，它的算理到底是什么？老师们不妨思考一下，小数乘法为什么不能简单把小数点对齐？这是一个很好值得研究的问题。这是关于算理的第一个问题。

第二个就是算法的自动化。一个总的原则，就是自动化不等同于机械化，其最大区别从心理学角度是机械化缺乏一个内化的过程。如果没有内化而只是练那么就是一个机械化的过程，如果通过真正的理解，方法上的真正理解，通过技术达到一个速度呢，就是自动化。对于算法的自动化，这里主要讲要注意的几个问题。第一个问题是，一定要把握住我们的要求。老师们非常熟悉的比如说对于计算技能的要求，课程标准中有一些明确的要求。简述一下：对20以内的加减法和表内乘除法的口算是要求每分钟8—10题；对100以内加减法的口算在过去标准中没有要求，在这次标准的修订中把它给加上了。100以内加减法口算是每分钟3—4题，那么两位数乘两位数的笔算以及一位数乘两位数或除两位数的笔算是每分钟三到二题。唯一的变化是修订稿中加入了百以内加减法的口算是每分钟3—4题。背景不再说了，如果一定达到非常高的速度，那就没有必要了。学生能达到基本的要求就可以了。老师们要知道， “对于小学生来说，一定要先好，然后再快”。只有选择好的方法，然后你才能关注速度，而不能是我们所说的“先快再好”。正确才是非常重要的，然后在这个基础上，我们再按照标准的要求有关注一下速度。为什么提倡这些呢？我看到过这样一些要求：“下面我们看一下这些题，看谁做得又对又快。”老师经常说这句话，我发现这样一个现象，当老师提出了看谁做得又对又快，或者采用一种比赛的形式，孩子们往往是求快。我曾经访谈过很多学生，他们做得非常快。做得非常快的结果是几乎错了一大堆，而我们老师往往在上课的时候订正，订正又不给学生改错的时间。比如“第一题的答案是几？”“第一题的答案是8”。“第一题的答案是几？”“第一题的答案是3”。“第三题答案是几？”“好！挺好！”说完了，就到了第二大题了。没有给学生改错的时间，所以，孩子做了一大堆，他错了一大堆，最后给孩子还是糊涂的交待。所以，对于一些计算技能开始时要慢一点，要求孩子“我做，就一定要对！我会做，就一定要做对！”做到这样以后，再慢慢地求速度，比老师一开始就求速度，一下子做好多题要好得多。

1 算法自动化的第一个要求，就是一定要先把握住标准：先求对，再求快。在心理学上有一句话，就是“第一印象非常重要。”如果第一印象是错误的，可能你要花加倍的努力去改正。我曾经犯过这样的错误，就是第一印象把名字记错了，哪次叫名字都是错误的。叫了很多遍才把名字纠正过来。在计算教学中，一定争取给学生正确的第一印象。

2、鼓励孩子的算法多样化。第二个要重视的算法自动化的过程就是要重视的是算法的多样化。算法多样化的价值，老师们都已经重视了。即使对于计算教学来说，孩子自己创造的一种计算方法，往往是提高他正确率的一个方法，你会觉得很笨，你会觉得他这样很慢，往往这样慢，孩子会算得很对。只有在慢慢地算得很对的过程中，孩子也许才可能达到自动化的过程。对于二十以内的我们对20以内的加减法要求是每分钟8-10题，他只要算对了，达到了这个要求。有句话“白猫、黑猫逮住老鼠就是好猫。”就是这个意思。比如，举个例子，我儿子的例子。5减3他好不容易知道得2了，6减3，好不容易知道得3了，我们采取的模型就是上楼梯，你上到三层还有几层到六层呢？他想到的是我还要上到四层、五层、六层。我认为他会了，后来我问他这样一个问题“你知道6减3等于3了，那么9减6等于几？”

我自以为孩子仍然用上楼梯，孩子只有5岁，这样算多简单呀！“7层、8层、9层！等于3！”

结果我的孩子怎么算呢？他想了很长一段时间，他算出了等于3。你猜他是怎么算的？他说：“妈妈，10减10等于0，对吧？”我说：“对！”“10减9等于1，10减8等于2，10减7等于3，10减6等于4，那么很显然，9减6等于3！”他用一种类似推理的方法，不厌其烦地做，做得几乎是全对。但是你让他数楼梯，经常出错。因为他弄不清楚，是先从7层数好，还是先从6层数好。常得4，他用他的方法，总能做对。我们不妨等待我们的学生，等待我们的孩子，他们只要做对了，尊重他们的方法。然后一段时间再去说。这是关注学生的一种方法。

3、要设计一些合理的练习。在此引用周玉仁老师的一句话，“练习不等同于重复。”不是做很多题，而是要针对学生的错误，去设计有趣味，有启发的才是好练习。关于练习还有很多理论，老师们可以去进一步研究研究。

4、要关注学生的错误。在练习中，学生会出现大量的错误，我们要了解它，这里要提醒老师们，千万不要认为错误一次就可以纠正。错误一旦形成，你就要花大力气了，所以一定要把握两头，一个就是开始要尽量建立正确的直觉，基本上不让他犯错误，第二就是发现一旦犯错误要想办法赶快纠正，帮助其用有效的方法来进行避免错误的累积。老师们觉得难，就是错误累积。什么意思呢？就是开始一个错误，一个一个错误累积后你离不知道他哪里出错，就可怕了，所以一开始出现错误呢，不是要做多少练习，而是告诉他用有效的方法来进行避免错误的累积。这里有很多的经验，可以是多样化的方法，包括形、数、估算等等帮助他解释。

举个例子。这是华应龙老师的一个例子，例：1.2×1.3=1×1+0.2×0.3（华老师学校学生的错误）计算这题是四项，学生只算了两项，必然是错误的。孩子算这题错误的一个很大的原因是什么呢？还是受小数加减法的负迁移，因为我们在进行小数加减法的时候，我们提倡算法多样化，很多孩子算1.2+1.3的时候，他是先把整数加在一起，再把小数加在一起，1+1再加上0.2+0.3，这是对的。但是这种迁移，你不能直接迁移到小数乘法，在计算小数乘法的时候，你不能把1×1再加上0.2×0.3。问题是出现了这个问题以后，怎么办？问过很多老师，了解到是让学生讲竖式，1.2×1.3应该是四步，四项，让学生看做时是丢了两项。也有的老师让学生讲分配律，让孩子慢慢算。这些都是从数的方法来解决数的问题。这些对于孩子是有用处的，但是，孩子的思维是多种多样的。一定要注意在教学中，多样化的原理，有的孩子可以解决，有的孩子，不能引起他的冲突。孩子可能觉得也对，但是，算一道题呢，孩子仍然是这么做。为什么，因为他没有意识到，为什么这样做。教学之后，没有孩子自己的思维。跟华老师交流后，华老师则采用——形，华应龙老师的思路，用数不行，可以用形。乘法在两位数的形就是面积，指的是两个数乘法。画一个面积，长分成两个部分，一部分是1，一部分是0.2，宽也分成两部分，一部分是1，一部分是0.3，合起来呢是1.2、1.3，乘是什么意思呢？就是求长是1.2，宽是1.3这个图形的面积，这样面积你可进一步地把它分成四份，一份是1×1，一份是1×0.2，一份是1×0.3，一份是0.2×0.3，这样让学生看到只算了两块，没有算其他的两块，让学生感受到，为什么要算四项，而不是两项。当然，也会有老师说，这种方法学生不一定好理解。因为此时我说得比较抽象，但画起来比较直观。

另外，任何一种方法都不是适合于学生的万能方法。我们主要就是要给孩子多样化的方式，帮助不同的孩子纠正错误。有孩子可能从数中得益，有的孩子可能从形中得益。关注学生的错误，用多样化的方法帮助他极少地杜绝可能的错误。

第三，在运算中的一个核心任务，就是挖掘运算的一些其它的价值。这也是一个很好的话题。比如说，在计算教学中怎样培养儿童的数感？怎样在计算中培养孩子推理的能力？怎样在计算中渗透函数的思想？这是计算其它的一些功能。

【主持人】：刚才张丹的介绍，给了我们很多的启发。在新课改以后，我们多数只是茫目地围绕数感作文章，思考，然而没有走进任何一个具体的领域里，细细地研究，每一步教学，它的最关键在哪里。在今后的教学中，我们的重点是就是把握算理是否理解了，算法是否自动化的问题，关于数感、数学思想在计算教学基础上一些其它价值的挖掘。我们应该是去把握住本，再去发挥或是发展其它的价值。

论坛上，天各一方老师的提供案例，“新课改环境下，计算教学需要什么样的情境？”你是否可以做一下指导？

【张丹老师】：计算教学需要什么样的情境？这是一个很大的问题，首先要明确的是情境的目的是什么。最近史宁中校长的一个报告中对情境说得很好，他的原话是这样的，“情境的目的就是交给学生如何进行、学会抽象。”他说的这个抽象的含义包括的很广很广，他认为数学就是抽象的一个过程。当然我们可以把它进一步具体化，情境教学就是帮助学生如何进行抽象、如何进行思考、进行推理等等数学上常见的活动，对于好的情境教学有下面这几个维度。

第一个是现实性；如果寻找的是一个现实情境的话，我希望他更是一个具有现实意义，而不仅仅是套了一个现实场景，但不符合实际背景，现实性还有一个方面，就是还要符合学生的现实背景。好的情境不被学生所理解，也不是一个好的情境。

第二个就是要具有一定挑战性；要是跳一跳才够得着的东西。

第三个就是要富有一定的数学意义；要与计算紧密的结合。

最后一个就是低门坎，多层次。一个好情境不是很难，就是门坎可能很低，每个老师都能做一点，但是每个学生都能得到不同的发展。这是对于一般意义上情境的要求，实际上，对于计算呢，同样也符合这样的要求。

举个例子，例：商不变的性质中（吴正宪）小猴子分桃子。只有情境，关键要设计合理的问题，她中间有个猴子分桃子“6个桃子分给3只猴子，60个桃子分给30只猴子，600个桃子分给300只猴子”，这里是不是多了？这个问题并不是真正意义上的情境问题：它既不具有挑战性，也不具有所谓的低门坎，多层次性，不具有数学意义。我非常喜欢她下面的问题，围绕这个情境，孩子说了，不管是60除以30，600除以30，他们的结果都是2。一般情况下，老师会说，那你观察一下这个算式，它有什么特征？鼓励学生从上往下看，从下往上看。但吴老师问了一个特别好的问题，“那你能不能再写出一些算式，使它们的商仍然是2？”这个问题就非常符合，具有一定的挑战性，同时，她紧紧把握了商不变的规律，富有数学意义，渗透了函数思想，也就是被除数和除数都在变，但是变化中有一个不变，还有一个非常好的特征，它非常符合低门坎、多层次。就是再困难的孩子，他好歹都能写出一个6÷3，或是6000÷3000等于2，好的孩子能写出很多很多好的式子，然后加以分析和整理。临时想到的这个课例，就是想说明情境非常重要。现在问题是，老师容易重视了情境，忽略了情境后问题的设计，怎么一步一步把孩子引导把思维投向深入。情境不在多，关键是对情境的一个挖掘。孙晓天老师的一句话，“什么是问题情境呢？就是容易导向学生思考的情境是一个好的情境。”情境本身能够引发学生曲折或者富有挑战性，同时富有趣味性的思考。所以设计一个情境以后，还要尽可能的设计富有层次性的问题，让孩子们才能一步一步的深入。现在暂时提供一些宏观的建议，如果老师们还有其他细致的问题，我们还可以进行进一步的研讨。

【主持人】刚才张丹老师关于情境问题，为我们提供了一些要求。在计算教学的情境上，我们有了一个很好的线索和方向了。

例：14×2的计算中，算理直观与算法抽象是一种矛盾。

关于算理直观与算法抽象，在一次活动当中，徐斌老师提出计算教学中的一对矛盾。有这样一个案例，是关于一位数乘两位数的笔算。首先是，出示情境图，两只猴子摘桃子，一只猴子摘了14个。前提情境出示之后，学生提问“一共摘了多少个桃子？”然后列出乘法算式是2×14，接着让学生独立思考，自主探索计算方法，有的学生是看图知道了得数，有的学生是用加法计算出了得数，有的学生是用小棒摆出了得数，还有学生是用乘法算出了得数。然后组织学生汇报交流的时候，问学生的计算方法是什么？老师在汇报当中进行了板书，老师结合板书进行评价，然后板书出完整的竖式。是14×2的计算过程，并在竖式旁边进行标注，两个4是8，两个10是20相加得28这样一个辅助的标注。最后书写14×2得28。然后操作，用学具、教具演示这样一个操作过程。并结合图片进行了数形对应。最后引导学生观察这种初始竖式。通过讲解，让学生掌握简化竖式的写法，再让学生进行简化竖式进行计算练习。在这样的一个例子中，算理直观与算法抽象他说是一种矛盾。我当时不是很理解，在这个过程当中，学生是通过演示或是动手操作得出的这个结论，算法内化，或是抽象思维的建构，是否能够有机结合起来，在教学中处理得更好一些？

【张丹老师】：为什么说它是一对矛盾呢？

【主持人】：我们在计算教学中，我们直观地呈现，学生是否在思维当中建立了抽象的思维了？我们多是在动作思维，形象思维当中进行教学。与你刚才所说的，算法多样化当中，需要等待学生有一些联系。

【张丹老师】：是不是可以这样理解，开始动手摆呀直观理解还不够，还需要把它抽象？

我的理解是，直观跟抽象它们不是一对矛盾。我记得，史宁中校长讲过这样一个问题：“抽象的前提，必须有一个非常好的直观。”没有好的直观，是抽象不出来的。

一个著名的数学家弗来登塔尔曾说过这样的一句话，“数学与其说是在讲抽象不如说是在讲抽象化”。“化”就是直观到抽象的过程，在小学，直观的建立是非常非常重要的。老师们常认为数，高级的数、符号够抽象，高级的，实际上形、动作是一个非常好的支撑。它们不是矛盾的，是相辅相成的关系。直观是帮助我更好地进行抽象，抽象可以帮助建立更高层的直观。比如说，把一杯水、一个什么东西，抽象成了一个数，数的学习就为字母的学习奠定了很好的直观。如果没有数的直观，你不可能理解字母的，你不可能理解字母中的一些运算的。我的理解是算理直观与算法抽象是不矛盾的。

第二，在教学中是不是有一些问题，老师进行了大量直观意义上的活动，孩子们没有进行很好的抽象，这是教学中的问题，而不是这两本身有什么矛盾。这时，老师可以举一些具体的案例进行一些具体的探讨。很多老师就建立了一个很好的方式。比如说，沟通算法的方式，无论你是用10×2再加上2×4，跟竖式，跟形进行沟通。很多老师就上过很好课。比如说，二四得八，在你的口算中是什么意思，在你的图中是什么意思，这是比较好的直观和抽象。在开始慢一些，然后在直观的基础上脱离直观进行抽象是非常必要的。

在小学阶段，直观是非常重要的。没有直观，就没有真正意义上的抽象。

【主持人】：关于这个问题我已有了很多的了解。关于计算教学的核心问题，各位老师都已经有了很好的把握，关于读懂学生可以上麦来与张老师进行一对一的交流。

第一学段的教学常会出现如8加几，9加几课题一出现，学生就会算了，老师很难处理。如果学生会了，老师怎么办？

【张丹老师】先从宏观的说，再说一些具体的。1、从心态上应该考虑是个好事情。一个学生会总比不会强。从大班教学中不好调控，是一个人会，还是全班都会，这个处理是很重要的。不能因为一个学生会，就在教学中怎么样，这是班级授课的一个问题，在教学中不可能照顾所有的学生的。教师仍然可以按照自己的教学思路进行探索。教师可以用一些语言，在别的同学进行探索时，可以私下跟那个会的学生进行私下的谈话，给他提一些挑战性的问题等等。对他进行安抚和关注这是有必要的。在总体上来说，还是要按照你既定的教学方针。有一个会或只有几个会，可这样处理。如果是全班都会比较麻烦了，要了解一下要了解一下是真会了还是假会了？有多少人会？我曾经在北京见过一节课，是小数的加减法，刚出来这道题，孩子就会了，而且是全班大部分孩子都会了，这个老师处理方法非常好。他说，我们数学学习中不仅要做到会，还要做到三清：一要要把方法说清；二要写清；三要想清。

这时，如果你会去分辨，有的孩子是真会了还是假会了。比如说9+4，你让他说，他说不清楚，只有几个孩子是真会了，你还可以继续你的课堂。既然全班学生都会了，你可以设计一些挑战性的问题，比如说9+4=13你会了，你能不能由9+4=13这个算式编出其它答案等于13的算式？既有挑战性了，也可能让他进行了很多练习。老师们要注意的是，主要的是要弄清多少人会，是真会了还是假会了。如果全班都真会了，那你就可以自由调控让全班休息休息到是也可以。或者说你提前设计一些具有一些挑战性的问题，也是一件好事。有的老师可能会说，说起来简单，做起来不简单，这是个别老师实践中的一些智慧了。所以，了解学生真的是重要。老师们可以感觉到，课堂上你知道学生都会了，可能会比较尴尬。如果你课前做一些调研，了解到学生很多都会了，你可以想到很多好的方法，可以使这节课上得更有价值。

一位老师问：一年级在20以内进位加法的时候，现在鼓励算法多样化的时候，如何优化？一年级的孩子，每个孩子基础不一样，有的同学已经有二年级的水平，有的孩子可能是刚会数。这个时候，教师在教学过程中，如何把握呢？让孩子在同一水平上提高？

现在参考书上讲的凑十法，它的算理是不是要求孩子用语言都能表达出来？

【张丹老师】：20以内的进位加法里，孩子并不一定用凑十的方法，要不要说清他的算理？凑十法是一个很重要的方法，老师应该让学生了解会使用这个方法。老师不一定逼迫他一定要使用凑十法，但是他一定要知道有这样的一种方法。你让他使的时候，他会使。为什么说它重要呢？它主要体现了十进制和位值制。要凑十是十进制，这在后来的学习是非常有用的。凑十法还是应该让学生了解，能用。但在具体算的时候，他不做，他不用，这倒没有关系。他愿意用别的方法，比如我的儿子，他愿意用一点点地推，算得又对，又能达到每分钟8—10道题的要求。我认为，这是不需要强求的。人的思维真的是不一样的。

凑十法一定要让学生表述算理。第一呢，语言表达不是理解的唯一途径。史宁中说过这样一句话：“什么叫做理解了？你能举一个例子，说明你理解了。如果你能举一个任何人都能懂的例子，说明你能深入浅出了。”

他也提供了孩子另外的一种理解方式，就是举一反三。理解的方式，有很多种，对于一年级的孩子让他用语言表达。他是很难表达出来的。他怎么表达呢？把8变成一个7，9+1=10 10加7等于17，我想这些对于一年级的孩子也不是真正意义上的算理，它也是算法，这不需要准确地表达。他可以借助于学具来摆一摆，或是用相同的方法来举一个计算的例子。也可能鼓励学生去表达表达，不强求一定要这样。有时，我们老师一定要让孩子说一说，说到最后，也没什么可说的，不知道该说点什么好。所以，凑十法不一定要让孩子表述算理。

【英子老师】：三年级第四单元的乘法，就是两三位数乘以一位数的除法。学生第一次接触除法的竖式。我要问的第一个问题是，情境问题，是购物，书柜是213元，桌上是42元，椅子是12元。提出的问题是买4把椅子需要多少钱？然后是探索12乘4，让孩子提问题时，加法、减法都有，孩子没有提出买4把椅子需要多少钱？这问题是我提出来的，然后有的网友提出来，你是意图是让一张桌子配4把椅子，教材是这样，给出的图没有想到这样的实际问题吧！有的孩子看不出来。不如，直接出示4把椅子让孩子看，我在想这样改之后，是让图更接近学生这个实际，更有利于孩子提出问题，还是限制孩子提出问题？这样改是不是好？

还有一个是，试一试中的一个问题，买2个书柜需要多少钱？是不是可以把这个情境图改为完整的，比如说在一个房间里放入两个书柜，四把椅子，一张桌子这样的情境？这样改有什么弊端？

【张丹老师】：凭直觉，你没有进行试教，我没有进行过调研，这样改是非常好的。为什么呢？首先是符合我们情境的那些要求，更加符合现实背景，也没有改掉教材所蕴含着的数学方面的一些东西。如果孩子也能接受，也感兴趣，这是一个非常好的一个改动。刚才我也想，你是不是能再结合一些实际问题，比如说假设是一种我要搬新家或者是购物。搬新家，我要买桌子，买椅子，买一套桌椅，买两个书柜，让他感觉到购物本身是实际生活中一件非常重要的事情。可能会更加贴近生活实际。当然，你这个改变是好的。

你提到的另外一方面，这个改动会不会限制学生提问问题的空间？我想是这样的，每节课都可以提问算法多样化等等，但是，每节课都有每节课的侧重点。这节课的侧重点还不是让学生去提出问题，虽然我们说提出问题很重要，但是，不是每节课，我们都需要鼓励学生开放地提出问题。所以，这节课的一个重点是，能够让学生列出竖式，合理地进行运算。所以这个改动是很好。

另外呢，即使你不给孩子椅子的数量，你让他提4把也好，5、6、7把也好，它在本质上是一样的，没有思维含量的上的差别，所以你没有限制学生。你可能限制学生不能提出一把了，两把、三把了，但是从思维含量上，跟提出两、三把是一样的。所以，这样的一个改动，既符合学生的现实生活，同时又把这个情境自然地联系起来，我认为这是一个非常好的改动。

【英子老师】：也是上面这节课，在这节课之前是乘除法的口算，主要算是10乘4，然后是2乘4，口算的意图是培养学生的数感很重要，还可以帮助学生理解算理。如果不安排口算的话，让孩子直接进行第四单元的学习，他也能学，但是，我还是想知道，教材先安排一个单元来学习口算，它意图还有什么？更重要的是什么？

【张丹老师】：课程标准中提到要重视口算，我们就要思考口算的价值，口算的价值是第一，它在生活中常用。人们在生活中第一要用到的就是口算，然后数再大些就要用计算器，也有个别用笔算，很多人都是用口算。所以，我们希望孩子掌握一些口算的方法，口算能够正确。这是一个非常重要的事情。第二，口算是培养学生的数感，灵活进行计算的一种非常重要的方式。可以琢磨一下，口算跟笔算不一样，包括估算，跟口算很相近，但是不完全一样。就是口算，它比较灵活，有了口算以后，孩子会想很多很多种方法。而且通过口算使人变得灵活，在灵活的过程中可以把数量之间的关系搞得非常灵活，会发现很多数的关系。比如他把12拆成10加2，再去乘4。有的孩子可能会算11乘4，然后又加上4得48，他能脱口算，把数数之间的关系搞得非常灵活。口算特别重要的一个特点是能够帮助你去体会数与数之间的关系。它是把人变得越来越灵活。

相反，笔算，我指的是竖式那种笔算。笔算是让变得非常机械，机械不是坏事，是按部就班。竖式的特点是只要会了方法，不用加特别的思维，不用去想这儿怎么拆，那儿怎么拆，只要按照方法一步一步地算，你就能算出来。笔算是让人变得按部就班，我们的教育既要培养人按部就班，也要培养人灵活。这两者很难说哪个更重一些。所以我们这套教材非常重视口算。有人说要使数学简单化、机械化。当然我们把笔算和口算结合在一起，也是比较重视口算。但是，我们老师往往比较喜欢笔算，如果放在一起，老师会比较重视竖式。为了避免口算就是为了得到笔算这种认识，我们特意把生活中比较常用的，两位数乘一位数等这些常用的口算单独放入到一个单元，在个基础上，你再学习一些按部就班的笔算的内容，这可能是当时为什么把口算单元拿出来的一个原因。老师们可以灵活地创造教材，但是，在没有充足的理由之前，还是尊重教材，就是重视口算，先口算再笔算。

【默然老师】：关于表格法问题。四数上“卫星运行时间”一节课中，很多学生很难用表格法。一开学初，我跟我们三年级的老师提及关于表格法，一定要重视起来。然后呢，看了一下三年级的老师，老师把表格法形容成笔记本电脑，好多这种比喻。到底教师该怎么教学，基于学生的理解，我做一个调查关于48÷3（孩子还没有学）。孩子们怎么理解，基础是怎么样的？培养学生的数感，关于把48怎么分？孩子基础以前口算的理解，可能会分成40和8，如果从培养数感的角度，好一些的孩子也可能会分成30和18，我特别想了解一下孩子的状况，到女儿的班级进行调查。有一个孩子，这个孩子是记忆力最好的一个孩子。我问他，刚开始的时候，是分成用40和8，除不尽怎么办？他就开始进行慢慢地调节，想到了30，但是后期他就不知道该怎么办了？后来，我又问女儿，你怎么办？她就在练习本上先画了一个表格，然后自己写了一个算式40-30，然后我问你写的是什么式子。她说，我先看看剩的数是多少，然后在表格里写一个30和18，然后再除以3，就是我们教材里的那个形式。自己一下子就解开了之后，说这个表格真有用！

为什么学生想不到用表格？一开始，没有以很重要的方式让孩子感受到它的好处。学生不善于去用，或者说，你在最开始的时候，老师对表格的重视，孩子也会去重视。

我在考察第一名的孩子时，问他计算方法，他说计算方法是工具式的。比如36÷3他就说3（十）除3得1（十），6除以3得2。用这样的方法，而不是从算理上根本理解，所以，我觉得是首先是教师要对这有认可之后，孩子们才会有认可。这是关于表格的问题。有兴趣的老师可以看一下关于如何培养学生的数感这本书。书里有比较多这方面的例子，竖式对于学生来说不是最重要的。不要把笔算当作最重要的。还有比它更重要的。

【张丹老师】：“关于表格”的问题。

例如：114乘2，横线上类似一种表格的形式，把114拆成100、10、4，然后再乘2，算出200、算出20、再算出8，最后结果是228。有些老师问为什么要做这个事情，表格是一种非常重要的形式，它能帮我们做很多事情。我们运用表格，更重要的是想这个形式是为了干什么。

鸡兔同笼用表格，是为了列举，画不画表格不重要，关键是列举，那么为了看得更清楚、更方便就画一个表格。有学生说，我不画，我一个个推理，那也可以。那个表格，是帮助我们整理信息，进行推理，一个表格，这个地方画对勾了，那个地方就一定要画叉。学生自然就推理出来了。所以说表格是一种形式，不是在教表格。这个表格（指四数上“卫星运行时间”一课中）的目的是什么呢？这个表格的目的是渗透一种规律，最基本的运算，是我一级一级地算，4是个位，10是十位。100是百位，算完之后相加。为什么要用这个表格呢？因为算了一大堆，写在那里，不容易看。所以画表格就能看明白，知道我要把它整理起来，这种方法有什么好处呢，就是把114拆成100、10、4，一是非常机械，老师们千万不要认为机械就不好，在运算中越机械的东西越好，有人说过让数学变得更简单一些，让数学变得更机械一些。机械了，就有更多的人容易掌握。竖式，孩子对于哪个地方，没放好，没对齐，孩子不是不理解，竖式是一种简约的写法，可以想到，竖式经过长期的发展，是智慧的结晶，那么肯定是有道理的。学生懂竖式的算理，也会写，但是也容易出错，是因为不太懂竖式表达过程中一些基本的要求，所以容易出错。而表格，不会出现这种错误，任何一个三位数都可以拆成百位的、十位的、个位的，只要会拆数，就能做。国外的教材不用这种方法，因为他们没有我们这样的机械，他们只要会做。这样做主要的理由是重视口算，第二是乘法分配律的渗透，第三是和竖式很好的沟通，学生如果理解了表格再去用竖式，是顺理成章的事情。所以，教材要增加这个内容。不增加，孩子也会想到，只是想到了算100乘2，10乘2，4乘2，却不会用或想不到用表格来表达这个过程。我的看法是，想不到就想不到吧，如果他能想到100乘2，10乘2，4乘2，就可以了，和竖式进行了沟通。实际上为了我们整理得清楚，我们可以把它画作表格，让看书上是怎么做的，书上只不过是把你的方法用表格表达得更加清楚了。将来你是愿不愿意意画表格，但实质上是把114×2拆成了几个数位上不同的数。这样做就比较机械，组织比较原始了。竖式是对这些内容的浓缩，浓缩有什么好处呢？浓缩的东西是比较简洁，浓缩的就难，孩子就容易错。画表，会用这种方法，是很多孩子很自然，很原始的一种方法。对于孩子来说，让孩子知道这种方法是重要的，但是不强求孩子一定要画成这样的表格。在练习或者考试的时候这样的题可以给学生表格，让学生自己填数。但是老师可以不强求孩子必须用表格表示。

任景业老师（总结）：每次跟张丹老师的交流都收获不小。我的感受有三条。第一条是令我感动：第一点是张丹老师跟各位老师之间的这种亲情让我感动。第二点，房间只能容纳300人，最高线时房间满了。第三点是各基地学校组织老师积极参加这次研讨活动。第二条，是张丹老师坚持了很长时间，还表示以后还要参加这样的活动。第三条是感受今晚的内容是非常丰富，讨论到了怎样读懂学生，计算算理，算法的自动化，计算教学的价值这些方面的问题。这些问题的范围比较广，比较深，也比较大，但是张老师举了好多例子，使得大而不空。今晚不可能把这些问题讨论透彻，讨论通，却留下了更多的思考。