关于“一条弦所对的圆心角的个数”的讨论

背景：一位老师在我们教师QQ群上问我；“林老师，一条弦所对的圆心角的个数有几个？”这个问题我从来没有深究过，但根据我的经验，我很肯定的告诉他，当然只有一个。但之后，他对我说：“有的学生认为，因为一条弦所对的弧有两条，每条弧所对的圆心角有一个，故一条弦所对的圆心角应有两个啊。”我想想，好像也对。于是我在我们的QQ群上所问题提出来，让老师们讨论讨论。

林日福(344963061) 15:50:11
请问大家：一条弦所对的圆心角有几个？
罗顺兰(41830948) 15:50:33
我认为有两个
官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 15:50:42
你这样问，我就觉得有两个了
海湾邓振虎(734466612) 15:50:42
一个
官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 15:50:47
应该有一个的
罗顺兰(41830948) 15:51:00
因为所对的弧有两条
林日福(344963061) 15:51:12
不是因为我这样问，而是要你们自己的理解
官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 15:51:21
有一个
官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 15:51:49
我没见哪次求弦所对圆心角的时候还得两个答案的
罗顺兰(41830948) 15:52:05
如果只有那个小于180度的，那么圆心角大于180度的扇形又怎么解释呢
官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 15:52:27

官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 15:52:46

罗顺兰(41830948) 15:53:13
请问各位老师，这个问题有多少个答案啊
龙华周科(852182859) 16:14:16
我是这么给学生讲的：
一条弦所对的圆周角是两个，圆心角也是两个。但是初中阶段学的角都是0~180度的。所以圆心角只学其中不超过180度的那个。这就是知识的阶段性。
林日福(344963061) 16:15:12
我赞成。这问题如果有学生问起，就这样解释吧。
官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 16:15:34
这个最好不是考点啊
罗顺兰(41830948) 16:15:57
呵呵
罗顺兰(41830948) 16:16:19
北师大的教材没有这个规定，所以还是容易引起争议
林日福(344963061) 16:24:17
书上居然没有圆心角的定义啊？
官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 16:25:47
顶点在 圆心的角
罗顺兰(41830948) 16:26:24
是啊，我刚才找了一遍，还问了小学的老师
林日福(344963061) 16:26:26
那是人教版所给的定义吧？
罗顺兰(41830948) 16:26:35
小学的书上也没有明确地指出来
龙华周科(852182859) 16:26:45
书上没有定义，直接出现圆心角
官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 16:27:00
尽信书不如无书
龙华周科(852182859) 16:27:20
连“像这样的角叫圆心角”都没有
龙华周科(852182859) 16:28:03
《圆》这一章知识删完了
龙华周科(852182859) 16:28:31
都不知道考什么，哪些知识要不要加上去
官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 16:33:24
维基百科上给的定义是：

林日福(344963061) 16:35:03
人教版给的定义是：顶点在圆心的角叫做圆心角
林日福(344963061) 16:45:49
从定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”来看，一条弦所对的圆心角就只能有一个。
官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 16:46:46

罗顺兰(41830948) 16:47:19
是啊
龙华周科(852182859) 16:47:27
no
龙华周科(852182859) 16:48:09
一条弦所对的弧 也是两条的
林日福(344963061) 16:48:49
林日福(344963061) 16:48:49

那这个定理是错的了？

林日福(344963061) 16:49:39

不过你说的好像也是对的

龙华周科(852182859) 16:49:39

从定理看：在同圆或等圆中，如果两个两条弦相等，那么他们所对的两条弧也相等

龙华周科(852182859) 16:50:12

但是实际上两条弦对的是四条弧

林日福(344963061) 16:50:48

那么这个定理呢？你认为该怎么办才好呢？

官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 16:50:48

所指为优弧

官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 16:50:53

书上有这个规定

林日福(344963061) 16:51:05

有什么规定？

官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 16:51:26

在学弧的时候后面有个注释

官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 16:51:30

书上

官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 16:51:37

本书所指为优弧

林日福(344963061) 16:53:11

好像没有啊

龙华周科(852182859) 16:53:17

所以，我们也只能认为两条弦对的两条优弧相等，两条短弧也相等。

这样我们就可以认为：两条弦对的两个较小的圆心角相等，较大的两个也相等

官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 16:53:23

我记得好像有

官田陈玉峰<220283830628041@163.com> 16:53:39

这几届带的都是初一  不能确定了

林日福(344963061) 16:54:15

这样解释更严谨了

龙华周科(852182859) 16:55:43

关于弧，课本上有个注释，只是说有两种弧，但是没有“本书上的弧是指那种”。

所以我认为应该是两种都算

罗顺兰(41830948) 16:59:28

所以感觉解释起来不太对劲

龙华周科(852182859) 16:59:43

个人意见，不一定对

问题嘛，越辩越明

林日福(344963061) 17:05:55

我也征求了其他老师，他们说还是认为小于180度的角较好

龙华周科(852182859)  17:07:22

哦

龙华周科(852182859)  17:07:36

那就定个标准吧

林日福(344963061)  17:08:07

在初中阶段，还是认为如果没有特别指出，还是认为小于180的吧

罗顺兰(41830948)  17:09:49

嗯嗯

林日福(344963061)  17:21:04

罗老师，这个问题是怎么产生的？

罗顺兰(41830948)  17:21:38

是我看到一个题目想起来的

林日福(344963061)  17:22:04

有没有学生问你这个问题？

罗顺兰(41830948)  17:22:14

有

罗顺兰(41830948)  17:22:28

在半径为1的圆中，长度等于根号2的弦所对的圆心角是______度。

罗顺兰(41830948)  17:22:43

就是由这个问题想到的

林日福(344963061)  17:23:01

有学生填两个答案吗？

罗顺兰(41830948)  17:23:03

然后我们就讨论了定义和那个定理

罗顺兰(41830948)  17:23:07

有

罗顺兰(41830948)  17:23:32

发现一个两个结果都会有问题所在

林日福(344963061)  17:23:58

学生是怎么讨论的？

罗顺兰(41830948)  17:24:46

学生认为一条弦所对的弧有两条，而圆心角的度数又跟弧的度数一样，所以也有两个结论

罗顺兰(41830948)  17:25:27

但是后来我们又讨论了你刚才提到的那个定理，发现如果两个的话，那个定理又有漏洞

林日福(344963061)  17:26:13

是的，我也认为学生所说的也有道理。我问过教高中的同学，他们认为应是2个。

罗顺兰(41830948)  17:26:58

嗯，后来我问了我们学校的李主任，他以前教的是高中，他认为是两个结果才是对的

林日福(344963061)  17:27:04

从正常看,圆上的2点把圆分成2段弧,则弧AB对应的圆心角就应该是2个(未说明弧肯定是考虑分优劣),但这2个同写法的弧对应的是同一条弦,对此来看,一条弦对应的圆心角应该解释为2个更合理.

这是我一位现在教高中的同学所说

罗顺兰(41830948)  17:27:34

是的

罗顺兰(41830948)  17:27:57

现在就不知道初中阶段会不会有一些说明或者限制

郑先生 说(17:40):

圆心角是一个，圆周角是两个

林日福 说(17:41):

但很多人认为应该有2个，因为一条弦所对的弧有两条

林日福(344963061)  17:29:36

如果没有给出特别的说明，还是认为只有一个吧

罗顺兰(41830948)  17:30:09

好的，我现在就将填一个的和两个都算对，后再给学生解释

罗顺兰(41830948)  17:30:21

应该中考不会出现这些有争议的题目吧

罗顺兰(41830948)  17:30:42

谢谢林老师，谢谢各位老师了

林日福(344963061)  17:30:49

不会的

郑先生 说(17:43):

又不是说“一条弦所对的弧对的圆心角”

郑先生 说(17:44):

弦所对的圆心角就一个

林日福 说(17:44):

我问过教高中的老师，他们说应是2个啊

郑先生 说(17:53):

（一个尴尬的表情）回避

林日福 说(17:54):

（一个尴尬的表情）所以有老师问我中考会不会考这样的问题，我只能说不会。但事实上，我认为：“弦所对的圆心角”与“弦所对的弧所对的圆心角”应该是两个不同的概念。