数学史与小学数学教育（HPM）概论（节选）

“一门学科的历史就是这门学科本身”，因此数学史理应成为数学教育的重要内容，也是数学文化教学的重要内容之一。当前数学界比较流行的HPM就是数学史与数学教育的简称。

一、目前应用数学史的小学数学教学案例的四种范式：

1.附加式：展示有关的数学家图片，讲述数学家故事等。目前常用的基本方式，介绍数学史以彰显数学文化的魅力。

2.复制式：直接采用历史上的数学问题、解法等。如，“半广以乘正从”、“以盈补虚为直田也”等学生不易理解，花费很多时间，也不一定有助于学生对知识本身的理解，所以很有有教师采用复制式。

3.顺应式：根据历史材料编制数学问题，或对历史上的思想方法进行适当改编。例如《鸡兔同笼》、莫比乌斯带等教师带领学生学习、感悟其中的数学思想与方法。

4.重构式：借鉴或重构知识的发生、发展历史。是最高级的也被大力提倡的范式，但是难度较大，一是要建立在对概念历史发展脉络了解的基础之上，二是要将历史序与学生认知发展序、知识逻辑序相融合。目前很少有教师能够较好的加以运用。

将数学史融入教学，让学生感受到数学是经历演进过程的学科，而不是天上掉下来的东西；是人类参与了数学的演进，才形成了今天的数学知识体系。

二、数学史与小学数学教育存在的几个基本问题的追问：

1.小学数学教育为什么要关注、研究数学史?

数学史具有回望与前瞻并存的特点，因而推动了数学及其教育的发展。“数学史，研究数学知识的起源、形成、发展，向前能诠释一个知识、一个思想乃至一个数学分支的源，向后能诠释它们的流。”源与流正是在“向前”又“向后”中在这样的“诠释”过程中，清晰起来，涓涓流动起来。于是，“诠释”成了数学史在数学教育研究中的基本方法。往深处看，关注、研究数学史，是一种回溯--回到历史，回到原点，回到经典，回到过程，因而回到规律，回到发展方向上来。不能理解，数学史与小学数学教育研究，对于培养教师进而培养学生元认知的学习意识与能力有重要意义，这当属一种深度学习。

2.小学数学教师为什么要关注、研究并恰当地运用数学史?

“一个小学数学教师读数学史，不是为了教数学史，而是为了教数学”，是为了更好地教数学。“读史是用史的基础”，而用史主要是用于数学教学实践，因为，“一个数学老师知道了一段数学史实，他设计的教学能有多大的创新性和发展性，取决于他有没有读透进而读活数学史”。从字面上看，一个小学数学教师要读透且读活数学史是相当困难的。但是，蔡宏圣有自己独到的诠释，他认为:“为了教学的数学史研读，是立足于现实中的人，而去关注历史中的人”。关注人，无论是历史中的人，还是现实中的人，他关注的是数学文化、数学教育文化，因为文化是人化，是人创造了文化，是人创造了数学史。只有关注人，才会有真正的创造。

3.数学史视野下的小学生是怎样学数学的?

不管数学教育怎么改，都是为了儿童。读懂儿童不是泛化意义上追求对儿童的理解，而应突出地表现为细腻地、科学地对儿童在数学学习中的思维活动做深入了解与分析。这不仅是一种研究方式，更是一种研究品质。在这样的品质引领下，学生数学的认知过程才会与数学史的发展过程相似。与数学史相遇，不就是与历史中像儿童一样的数学家相遇吗?儿童与“儿童”的相遇，才会有数学学习的真精彩!数学史背景与理念下的儿童数学学习，更有历史的纵深感和厚重感，从历史的深入走来，带着“再创造”又走向未来。

4.数学史的遴选与使用

从一般意义上，对数学史料的遴选要看是否符合“两个有利于”(有利于更好地激发学习动机，有利于更好地进行数学思考)。如果不合适，那就拿来对它进行教学法的加工。备课可以遵循下面的模型：

只不过首先是要结合数学史去思考这些问题;然后再结合学生的现实寻找恰当的素材、设计合理的教学进程承载历史的精华。架构中的“三备”是线性的，实际运用的时候将会交融往返思考。

课堂使用数学史，很多老师会在教学时插入一些与教学内容相关的数学家的图片、讲述与之相关的逸闻趣事、介绍有关的数学史料。像这样运用数学史的方法称为“链接法”，其内在意义是指数学史没有影响教师的教学设计，只是在原有的教学设计以外再加了一个“超链接”。比如解决“哥德巴赫猜想”，就讲起哥德巴赫猜想的故事;学习三角形的面积计算后，再出示《九章算术》中记载的“半广以乘正从”的方法，先请学生看懂这是怎样的方法，再思考它为什么也能用来计算三角形的面积，和我们自己推导出来的方法有什么相同之处。由此加深学生对三角形面积计算推导过程的理解。

数学史使用的最高层次是融入式，即在课堂中重构人类认识的发生、发展过程，教学推进看似没有有形的数学史运用，却有机地融入历史上人类认识产生飞跃的关键进程。例如在《用字母表示数》的教学中引入了丢番图和韦达，让孩子理解所有的字母已经不表示任何具体的意思，只是一个符号而已，若用一个方块图、一个小花也丝毫不影响所列代数式的意义，它引导孩子从一般意义上去关注数量中的共性，谋求一类问题的统一解法，将认识和推理提高到一个更高的理性水平，呈现了代数的本质。融入式的数学史使用，可以把握住所教内容的知性本质，然后设计情境引导学生经历知识产生、发展的过程，在人类认识提升的关键节点上给予学生充分的时间和空间，让他们运用已有的知识、经验、方法去思考、探索、交流，从而生成深度的数学理解，提升数学素养。