在数学中，欧几里德空间 Rⁿ 的子集是紧致的，如果它是闭合的并且是有界的。例如，在 R 中，闭合单位区间 [0, 1] 是紧致的，但整数集合 Z 不是(它不是有界的)，半开区间 [0, 1) 也不是(它不是闭合的)。

    更现代的方式是称一个拓扑空间为紧致的，如果它的开覆盖都有有限子覆盖。Heine-Borel定理证明了这个定义对欧几里德空间子集等价于“闭合且有界”。

    注意: 某些作者如 Bourbaki 使用术语“准紧致”，并把“紧致”保留给是豪斯多夫空间并且“准紧致”的拓扑空间。一个单一的紧致集合有时称为紧致统(compactum)。

历史和动机

术语“紧致”是莫里斯·弗雷歇在1906年介入的。

很久以来就认识到了像紧致性这样的性质对于证明很多有用的定理是必需的。最初“紧致”意味着“序列紧致”(所有序列都有收敛子序列)。这是在研究主要的度量空间的时候。“覆盖紧致”定义已经变得更加突出，因为它允许我们考虑更一般的拓扑空间，并且关于度量空间的很多已有结果可以推广到这种设置。这种推广在研究函数空间的时候特别有用，它们很多都不是度量空间。

研究紧致空间的主要原因之一是因为它们以某种方式类似于有限集合: 有很多结果易于对有限集合证明，其证明可以通过极小的变动就转移到紧致空间上。常说“紧致性是在有限性之后最好的事情”。例如:

• 假设 X 是豪斯多夫空间，我们有一个 X 中的点 x 和不包含 x 的 X 的有限子集 A。则我们可以通过邻域来分离 x 和 A: 对于每个 A 中的 a，设 U(x) 和 V(a) 分别是包含 x 和 a 的不相交的邻域系统。则所有 U(x) 的交集和所有 V(a) 的并集就是要求的 x 和 A 的邻域。

注意如果 A 是无限的，则证明失败，因为任意多个 x 的邻域的交集可能不是 x 的邻域。但这个证明是可以挽救的，如果 A 是紧致的: 我们可以简单的选取 A 的覆盖 {V(a)} 的有限子覆盖。在这种方式下，我们看到在豪斯多夫空间中，任何点都可以通过不包含它的任何紧致集合的邻域来分离。事实上，重复这个论证证明了在豪斯多夫空间中任何两个不相交紧致集合可以通过领域来分离 -- 注意这正好就是我们在豪斯多夫分离公理中把“点”(就是单元素集合)替代为“紧致集合”所得到的。涉及紧致空间的很多论证很结果都服从这个模式。

在度量空间中，所有的有限集都有最大与最小元素。一般而言，无限集可能不存在最大或最小元素（比如 R 中的(0, 1)），但 R 中的非空紧子集都有最大和最小元素。在很多情况下，对有限集成立的证明可以扩展到紧集。一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数是一致连续的。

定义

 欧几里德空间中的紧致性

对于欧几里德空间 Rⁿ 的子集，下列四个条件是等价的:

• 所有开覆盖都有有限子覆盖。这是最常用的定义。
• 所有在这个集合中的序列都有收敛子序列，它的极限点属于这个集合。
• 这个集合的所有无限子集有在这个集合中聚集点。
• 这个集合是闭合与有界的。这是最容易验证的定义，例如闭区间或闭 n 维球。

在其他空间中，这些条件等价与否依赖于这个空间的性质。

注意尽管紧致性是集合自身(和它的拓扑)的性质，闭合性是相对于它所在的空间的；上面的“闭合”是在闭合于 Rⁿ 中的意义上使用的。比如闭合在 Qⁿ 中的集合典型的不闭合在 Rⁿ 中，因此不是紧致的。

 拓扑空间中的紧致性

上段中的“有限子覆盖”性质要比“闭合并有界”更加抽象，但是它在用于 Rⁿ 的子集的子空间拓扑时有明显的好处，省去了使用度量或周围(ambient)空间的需要。因此紧致性是个拓扑性质。闭区间 [0,1] 在某种意义上是本质上紧致性的，不过它是如何嵌入 R 或 Rⁿ 中的。

拓扑空间 X 被定义为紧致的，如果它的所有开覆盖有有限子覆盖。在形式上，这意味着

对于所有 X 的开子集的任意搜集 使得 ，有着有限子集 使得 。

经常使用的等价定义依据了有限交集性质: 如果任何满足有限交集性质的闭集的搜集有非空交集，则空间是紧致的。^[1]。这个定义对偶于使用开集的定义。

某些作者要求紧致空间还是豪斯多夫的，并把非豪斯多夫的紧致性叫做准紧致。

 度量空间中的紧致性

在度量空间内，紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合：

• 任意序列有收敛子序列且该子序列的极限点属于该集合（自列紧集）。
• 具备波尔查诺-魏尔施特拉斯性质。
• 完备且完全有界。

 性质

紧集具有以下性质：

• 紧集必然是有界的闭集，但反之不一定成立。
• 紧集在连续函数下的像仍是紧集。
• 豪斯多夫空间的紧子集是闭集。
• 实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素。
• 在 Rⁿ 内，一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界。(Heine-Borel定理)
• 定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值。
• 定义在紧集上的连续实值函数一致连续。

其他形式的紧致性

• 自列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列。
• 可数紧集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖。
• 伪紧：所有的实值连续函数都是有界的。
• 弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点。

在度量空间中，以上概念均等价于紧集。

以下概念通常弱于紧集：

• 相对紧致：如果一个子空间 Y 在母空间 X 中的闭包是紧致的，则称 Y 是相对紧致于 X。
• 准紧集：若空间 X 的子空间 Y 中的所有序列都有一个收敛的子序列，则称 Y 是 X 中的准紧集。
• 局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基，则称这个空间是局部紧致空间。