在數學以及物理中，
拉普拉斯算子或是拉普拉斯算符（英文：Laplace
operator或Laplacian）是一個微分算子，通常寫成 Δ 或 ；這是為了紀念
在数学中，欧几里德空间
Rn 的子集是紧致的，如果它是闭合的并且是有界的。例如，在
R 中，闭合单位区间
[0, 1] 是紧致的，但
在数学中，滤子是偏序集合的特殊子集。经常使用的特殊情况是：要考虑的有序集合只是某个集合的幂集，并用集合包含来排序。滤子出现在序理论和格理论中，还可以在它们所起源的拓扑学中找到。滤子的
关于方程的一种一般理论。数学里到处要解方程,诸如代数方程、函数方程、微分方程等等，种类繁多，形式各异。但是它们常能改写成ƒ(x)=x的形状，这里x
是某个适当的空间Χ中的点，ƒ是从Χ到Χ的一个映射或运动，把每一点x移到点ƒ(x)。方程ƒ(x)=x的解恰好就是在ƒ这个运动之下被留在原地不动的点,故称不动点。于是,解方程的问题就化成了找不动点这个几何问题。不动点理论研究不动点的有无、个数、性质与求法。研究方法主要是拓扑的和泛函分析的（见非线性算子）。
常见的不动点定理
压缩映射原理(C.(C.-)É.皮卡(1890)；S.巴拿赫（1922）)：设X是一个完备的度量空间，映射ƒ:Χ→Χ
把每两点的距离至少压缩λ倍，即d（ƒ（x），ƒ(y))≤λd(x,y)，这里λ是一个小于1的常数，那么ƒ必有而且只有一个不动点,而且从Χ的任何点x0出发作出序列x1=ƒ（x0），x2=ƒ（x1），...，xn=ƒ（x(n-1)），...，这序列一定收敛到那个不动点。这条定理是许多种方程的解的存在性、惟一性及迭代解法的理论基础。由于分析学的需要，这定理已被推广
姓名：L．V．阿尔福斯Ａhlfors（Lars
Valerian）。出生日期（获奖时年龄）：1907年4月18日（29岁）。籍贯：芬兰（美藉）。获奖年度、地点：1936年，奥斯陆。获奖前后的工作地点：赫尔辛基大学，哈佛大学。主要成就：证明了邓若瓦猜想；发展覆盖面理论。对黎曼面作了深入研究。
姓名：J．道格拉斯（Douglas,Jesse）。出生日期（获奖时年龄）：1897年7月3日（39岁）籍贯：美国。获奖年度、地点：1936年、奥斯陆。获奖前后的工作地点：麻省理工学院主要成就：解决普拉托极小曲面问题，即一种非线性椭圆型偏微分方程的第一边值问题；变分问题的逆问题。
姓名：L．施瓦尔兹（Schwartz,Laurent）。出生日期（获奖时年龄）：1915年6月15日（35岁）。籍贯：法国。获奖年度、地点：1950年、坎布里奇。获奖前后的工作地点：南锡大学，巴黎学院。主要成就：创立了广义函数论；对泛函分析、概率论、偏微分方面均有建树。
姓名：A．赛尔伯格（Selberg,Atle）。出生日期（获奖时年龄）：1917年6月17日（33岁）。籍贯：挪威（美籍）。获奖年度、地点：1950年、坎布里奇。获奖前后
1．积分思想的产生与发展
为了解决求物体运动的路程、变力作功以及由曲线围成的面积和由曲面围成的体积等问题，导致了积分的产生。
积分思想源远流长。古希腊德莫克利特的“数学原子论”、阿基米德的“穷竭法”、刘徽的“割圆术”都是积分思想的雏形，并且用这些方法求出了不少几何形体的面积和体积；然而这些古代方法都建立在特殊的技巧之上，不具有一般性，也不是以严密的理论为基础的。
随着数学科学的发展，借助于生产力空前发展的强大推动，出现了开普勒的“同维无穷小方法”、卡瓦列利的“不可分量法”、费马的“分割求和方法”，到17
世纪终于发生了由量变到质变的飞跃。牛顿与莱布尼兹揭示了微分与积分的内在联系--微积分基本定理，从而产生了威力无比的微积分，使数学从常量数学跨入变量数学，开创了数学发展的新纪元。
2．积分思想的理解
（1）定积分的定义
设 是定义在区间 上的有界函数，用点 将区间 任意分成 个子区间 （），这些子区间及其长度均记作 （ ）。在每个子区间 上任取一点
，作个乘积 的和式 ，
如果当最大的子区间的长度 时，和式 的极限存在，并且其极限值与的分法及 的取法无关，则称 在区间 上可积
1．微分思想的产生和发展
为求物体运动的速度、变量变化的极值以及曲线的切线等问题，导致了微分思想的产生。
在微分思想的产生和发展过程中，伽利略的运动观点，费尔玛求切线、求极值的方法以及巴罗把“求切线”与“求积”问题作为互逆问题的联系，都为微分思想奠定了基础。
17世纪牛顿明确提出了导数（增量之比的极限），莱布尼兹尝试给出了微分的定义。
18世纪欧拉、柯西、魏尔斯特拉斯等人将微分概念精确化，使得微分的现代形式最终完成。
2．微分思想的解释
在微分学中有两个基本问题：变化率问题和增量问题。我们知道，函数 在点的导数
表示该函数在点处的变化率，它是描述函数变化性态的一个局部概念。
有时我们需要计算函数 ，当自变量在 处有一个微小改变量 时，函数改变量的大小。
往往是的一个较复杂的函数，要精确计算它是困难的，甚至是不可能的；并且我们在理论研究和实际应用中，往往只需要了解的近似值就可以了。因而计算函数改变量
的近似值就显得特别重要。
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数学分析的研究对象是函数，主要是连续函数。因此对函数连续性的讨论是数学分析的一个重要内容。我们有必要对数学分析中连续的思想做深入地探讨。
1．连续思想的产生和发展
客观世界的许多现象和事物不仅是运动变化的，而且其运动变化的过程往往是连绵不断的，这些连绵不断发展变化的事物在量的方面的反映就是连续函数，连续函数就是刻画变量连续变化的数学模型。
16、17世纪微积分的酝酿和产生，直接开始于对物体的连续运动的研究。象伽利略所研究的落体运动、开普勒所研究的绕日运转的行星所扫描的扇形面积、牛顿所研究的“流”等都是连续变化的量。这个时期以及18世纪的数学家，虽然已经大张旗鼓地研究了连续变化的量，即连续函数，但仍停留在几何直观上，把能一笔画成的曲线所对应的函数叫做连续函数。
直到19世纪，当柯西以及维尔斯特拉斯等数学家建立起来严格的极限理论之后，才对连续函数作出了纯数学的精确表述。
2．连续思想的解释
（1）连续的直观含义
连续的直观含义就是连绵不断的，所以一个函数 在上是一个“连续函数”的
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