1．微分思想的产生和发展
    为求物体运动的速度、变量变化的极值以及曲线的切线等问题，导致了微分思想的产生。
    在微分思想的产生和发展过程中，伽利略的运动观点，费尔玛求切线、求极值的方法以及巴罗把“求切线”与“求积”问题作为互逆问题的联系，都为微分思想奠定了基础。
    17世纪牛顿明确提出了导数（增量之比的极限），莱布尼兹尝试给出了微分的定义。
    18世纪欧拉、柯西、魏尔斯特拉斯等人将微分概念精确化，使得微分的现代形式最终完成。
2．微分思想的解释
    在微分学中有两个基本问题：变化率问题和增量问题。我们知道，函数 在点的导数 表示该函数在点处的变化率，它是描述函数变化性态的一个局部概念。
有时我们需要计算函数 ，当自变量在 处有一个微小改变量 时，函数改变量的大小。
    往往是的一个较复杂的函数，要精确计算它是困难的，甚至是不可能的；并且我们在理论研究和实际应用中，往往只需要了解的近似值就可以了。因而计算函数改变量 的近似值就显得特别重要。
    人们把解决上述问题的出路放在将 线性化，用的线性函数来近似代替它，这就是引入微分的基本想法。
具体过程如下：
   设函数 ，当自变量 在处获得一增量 时，函数 也获得相应的增量 。
    一般是的一个较复杂的函数，记为 。直接计算 往往很困难，于是希望用的线性函数 （ 与 无关）来近似代替 ，使对的计算得以简化。同时，又要使产生的误差与 相比可以忽略不计。即（*）
（ 是因变量， 是自变量）一般是曲线，而 = 是直线，因此微分的基本思想就是以直代曲。
又由（*）式成立，可得 ，得 ，
故 ，亦即
上式左端函数表示的是曲线 ，右端表示的是曲线 在点处的切线。因此上面提到的以直代曲就是局部地以曲线的切线来代替该曲线，这就是微分的思想。
我们定义函数 在 点的微分为：
可见，函数 在 点的微分有两个特点：
①它是自变量增量 的线性函数，
②它与函数增量之差： 是比 更高阶的无穷小。
根据上述两个特点，当 时，就可以用微分 来近似表示增量 ，即 ，当越小，其近似程度就越好。这一近似等式是应用微分思想解决近似计算和误差估计等实际问题的基础。
微分的几何意义：函数 在 点的微分等于曲线 在点处的切线纵坐标的增量。（如图）
3．导数与微分的联系与区别
导数与微分是微分学中的两个最基本的概念。
它们之间的联系与区别为：
一方面，可导与可微是等价的，若求出了函数在一点的导数，再乘以即得该点的微分；若求出了函数在一点的微分，再除以即得该点的导数；因此导数又叫做微商。
另一方面，从她们的来源和结构来看，导数作为有确定结构的差商的极限，比微分的概念更为基础；但又由于一个导数可以表示为两个微分之商，因此在分析运算中，微分表现出更大的灵活性与适应性。
微分是研究函数的一个重要工具，因为研究函数的各种问题都会涉及到函数的增量，而微分是的线性函数且微分代替增量的误差是一个比 更高阶的无穷小（或者说当时，微分 与增量 是等价的无穷小）。
4．微分思想的应用
函数 的微分 是计算函数改变量 的数学模型。微分可用于求函数改变量的近似值。即 。微分也可用于计算函数值的近似值。即 ，就是计算函数在点 附近点 + 处函数值的近似计算公式。
例 计算 的近似值（用两种解法），并简述作近似计算的原则
解：（法1）
令
则
（法2）
令
则
分析：我们知道 的前5为精确数值为4.6416
由法1，|4.6416-4.7500|=0.1084
由法2，|4.6416-4.6667|=0.0251
由此可知，为微分方法作近似计算的原则是：
① 使 易算，②使 ，且尽可能小。