布里渊区(Brillouin zone)_科学路上的爬行者

固体的能带理论中，各种电子态按照它们波矢的分类。在波矢空间中取某一倒易阵点为原点，作所有倒易点阵矢量的垂直平分面，这些面波矢空间划分为一系列的区域：其中最靠近原点的一组面所围的闭合区称为第一布里渊区；在第一布里渊区之外，由于一组平面所包围的波矢区叫第二布里渊区；依次类推可得第三、四、…等布里渊区。各布里渊区体积相等，都等于倒易点阵的元胞体积。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布喇格反射,对于电子德布罗意波,这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上（即倒易点阵矢量的中垂面）产生不连续变化。根据这一特点,1930年L.-N.布里渊首先提出用倒易点阵矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。

　　第一布里渊区就是倒易点阵的维格纳－赛茨元胞，如果对每一倒易点阵作此元胞，它们会毫无缝隙的填满整个波矢空间。由于完整晶体中运动的电子、声子、磁振子、……等元激发（见固体中的元激发）的能量和状态都是倒易点阵的周期函数，因此只需要用第一布里渊区中的波矢来描述能带电子、点阵振动和自旋波……的状态，并确定它们的能量（频率）和波矢关系。限于第一布里渊区的波矢称为简约波矢，而第一布里渊区又叫简约区，在文献中不加定语的布里渊区指的往往就是它。

　　布里渊区的形状取决于晶体所属布喇菲点阵的类型。简单立方、体心立方和面心立方点阵的简约区分别为立方体，菱十二面体和截角八面体（十四面体）。它们都是对称的多面体，并具有相应点阵的点群对称性，这一特征使简约区中高对称点的能量求解得以简化（见晶体的对称性）。

        从能带理论来分析，根据布里赫(F.Bloch) 定理，周期性势场的单电子薛定谔方程的非简并解和适当选择组合系数的简并解同时是平移算符T(Rl)的属于本征值exp(ik·Rl)的本征函数

  数学表示：
  T(Rl)ψn(k，r) = ψn(k，r+Rl) = exp(ik·Rl)·ψn(k，r)

  ψn(k，r)称为Bloch函数，用它描写的电子也称为布里赫电子

则有两个推论：

推论一：
  晶格电子可用通过晶格周期性调幅的平面波表示。由此我们知道k的物理意义波矢

  推论二：
  若Km·Rl = 2nπ，即Km为倒格矢，那么
  ψn(k，r) = ψn(k+Km，r)

  所以我们将k值限定在一个包括所有不等价k的区域求解薛定谔方程，这个区域称为布里渊区。在布里渊区，对于每个n,En(k)是一个k的连续、可区分(非简并情况)的函数，称为能带，所有的能带称为能带结构。

      从费米面结构上来分析，1. 电子与晶体周期势场的相互作用在布里渊区边界处产生能隙； 2. 费米面几乎总是与布里渊区边界垂直地交截。

1 维客：http://www.wiki.cn/wiki/%E5%B8%83%E9%87%8C%E6%B8%8A%E5%8C%BA

2 Charles Kittel，固体物理导论(原著第八版，项金钟、吴兴惠译)

3 量化网参考书：《固体能带理论》谢希德陆栋主编http://www.quantumchemistry.net/Foundation/FundamentalsBasics/SolidStateBasic/ReciprocalSpace/200512/96.html

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