让课堂中的学习真正发生

                                         牛献礼

 

    学生在学校的大多数时间都在课堂中学习，但是，课堂中的学习真的发生了吗？ 冷静审视之后不难发现，当前数学课堂中的如下现象仍然屡见不鲜：

    教师“一统天下”，学生被动执行教师的“指令”，缺乏实质性的参与；

    关注了“生活味”，忽视了学科特性；

    关注了教学形式，忽视了实际收获——

    操作实践因忽视学生内在需求导致“动手与动脑”相脱离；

    自主学习因教师指导的缺失带来的低效与异化；

    探究学习的泛化导致的浅表化； ……

    由此造成的结果是，“热热闹闹”的课堂表象背后却是教学效率的低下，学生的数学学习并没有真正发生！那么，怎样改进这种状况呢？笔者结合实践谈几点拙见。

一、教学的设计与实施从“基于教”转向“基于学”

    1、“基于学”体现了“学习主体”的回归

   “基于教”的教学设计与实施立足于教师“条分缕析地教”，按照知识本身的逻辑顺序进行设计，环节紧凑，逻辑性强，形成一种固定的“线性序列”，学生在这条狭窄的思维通道中“亦步亦趋”，学习活动空间较小。同时，教师牢牢掌控课堂，教学不允许节外生枝，上课成了学生配合教师演示教学预案的过程。

   “基于学”的教学设计与实施立足于学生“尝试探索着学”，是以学生学习为逻辑主线的“板块式”结构，教师注重“让学”，让出话语权，让出探究权，学生有较大的学习活动空间，课上有充分的时间专注于学习。教学设计中所运用的教学策略和所开展的活动体现了对学生经验、前期知识、困难、需要以及学习风格的关注。

    以“平行四边形的面积”教学为例

教法A：

    片断一：（出示下图）每个小方格的面积是1平方厘米，你能求出下面图形的面积分别是多少吗？（逐个出示）

 

图一              图二                 图三

    师生交流后归纳：用割下来补过去的方法将图二和图三转化成长方形，就能很快求出它们的面积。

    学生从中学习到了“割补”转化的方法。

片断二：给每个学习小组配发了平行四边形纸片、剪刀等学具，让学生想办法求出平行四边形纸片的面积。

    由于有了课开始时“割补”转化方法的学习铺垫，又有了“剪刀”等学习用具的“暗示”，学生很容易就想到了“沿着高剪下三角形，再补过去，转化成长方形”的方法，教学进行得很顺利。

教法B：

    教师课前进行了学情调研，发现学生计算平行四边形的面积大多采用“底×邻边”的方法，更有不少同学对前一节课中“推拉平行四边形框架变成长方形”的演示印象深刻，认为“斜着的邻边推拉为竖直之后就是宽”，并以此来解释“底乘邻边就是长乘宽”，还有少数同学已经知道了“平行四边形的面积=底×高”这一结论，甚至还有人通过看书等渠道了解到“割补转化”的方法。   

    基于对学情的分析，设计教学如下：

    首先，在无提示的状态下让学生自主尝试计算平行四边形纸片的面积。学生的想法大致分为两种情况：一种是用“底×高”计算，另一种用“底×邻边”计算。接着，引导学生借助“数方格”的方法验证这两种算法，发现 “底×高”的计算结果是正确的，而“底×邻边”的结果是错误的。然后，教师组织全班同学交流、辨析。

    师：平行四边形面积用“底×高”来计算，到底有什么道理呢？

    生1：因为把平行四边形沿着高剪下一个三角形来，拼到另一边，就可以变成一个长方形。长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽就是平行四边形的高，它们的面积是一样的……

   （教师利用黑板上的图，请学生上前剪拼，并引导学生理解平行四边形和长方形之间的联系，得出“底×高”实际上就是“长×宽”，算出的剪拼之后的长方形面积，也就是原来平行四边形的面积。）

    师：用转化的方法，我们可以把没学过的知识变成已学过的知识，从而解决问题，这是学习数学的一种重要方法。刚才巡视时，我发现有的同学还有不同的转化方法，请生2上前讲解。

    生2：我也是把平行四边形转化成长方形（演示：拿起平行四边形框架，把它推拉成了一个长方形。）这个底边就是长方形的长，邻边就是长方形的宽，“底×邻边”不就是“长×宽”吗？

   （看到生2的演示，不少同学也都面露困惑之色。）

    师（故作疑惑）：是啊，像他这样，把平行四边形拉成长方形，也是转化成长方形，对不对呢？

   （教师把长方形框架贴在黑板上的平行四边形图片上面）

    教室里短暂的静寂之后——

    生3：啊，我发现了！像他这样拉成长方形后，面积比平行四边形变大了。

    生2（还是一脸困惑）：怎么会变大呢？一样大呀！

    师：把平行四边形推拉成长方形以后，变大的部分在哪里，你能不能上来指出来？

   （生3上前指出变大的部分，教师协助生3用剪刀把平行四边形纸片剪拼成了一个长方形，并与长方形框架比较。使学生直观地看出这样转化之后，“底×邻边”算得的面积比平行四边形大了，面积发生了变化。同学们都恍然大悟，认可了“推拉成长方形后面积发生变化”的结论。）

    师：想一想，“底×邻边”计算出的是谁的面积？

    生：是转化后的长方形的面积，不是平行四边形的面积。

    师：说得真好！与前面的“剪拼转化后面积不变”不同，这样的“推拉”转化之后，平行四边形的面积发生了变化。

     ……

    在教法A中，教师为学生铺设了一条狭窄的思维通道，流畅的教学背后“掩盖”了学生真正的问题。这些问题并没有机会在课堂中暴露出来，当然也就没有得到分析与解决，而是“潜伏”了下来，留待以后遇到合适的土壤再“发酵”。而在教法B中，始终围绕学生的思维障碍来教学。教师不急于引导学生接受正确方法，而更多地让学生自己在尝试解决问题的过程中发现问题，产生矛盾冲突，并引导学生参与对问题和错误的剖析：平行四边形面积为何是“底×高”，为何不是“底乘邻边”？同样是转化为长方形来思考，为何前者是对的，后者却又不对了？……在这样充满挑战性的思考过程中，学生一步步澄清平行四边形的面积“是什么，不是什么”，明白“这样才是正确的，那样为什么是错误的”，最终获得了真正意义的数学理解。

    这个案例也再次说明，只有把学生的学研究清楚，把学生学习的障碍与困难研究透彻，并准确地分析产生学习困难的原因以及寻求相应的解决策略，才能在关键处引领学生的思维，教才能为学提供高品质的服务。

2、“基于学”会更加关注教学中的生成性资源

    “基于学”的教学设计同样需要精心地设计与组织，只不过由以教师“教为本位”的过度预设转向以学生“学为重心”的精心预设；由对学生“不放心、不放手”转向“信任学生、鼓励尝试、提倡质疑”；由执行教案转向依据学生的理解水平与学习状态对教案“再创造”；由只关注“老师自己需要的答案”转向关注学生学习过程中的生成性问题并相应地调整教学。

     以教学“除法各部分之间的关系”为例：

    （出示题目）127÷（    ）=5……2，让学生思考、填空。

    生1：127－2=125    125÷5=25，应该填25。

    生2：可以直接用127÷5，更简便，也能得出是25。

    生2的回答是教师备课时没有想到的，急中生智，老师把“问题之球”抛给了学生：“生2的方法确实简便，到底对不对呢？请大家再举几个例子来验证一下吧。”

    学生举例：19÷9=2……1    39÷5=7……4（符合）

              19÷8=2……3    28÷6=4……4（不符合）

    同学们都发现了“用被除数直接除以商去求除数的方法”在有些情况下是错误的，还是应该“（被除数－余数）÷商去求除数”，问题得到了解决。但是，教师没有到此为止，而是进一步引导——

    师：仔细观察，什么情况下“用被除数直接除以商去求除数的方法”是正确的？什么情况下又是不正确的？

    学生又一次陷入沉思，观察、讨论后开始汇报想法。

    生：当余数比商小的时候，可以用被除数直接除以商；当余数等于商或者比商大的时候，就不能用被除数直接除以商了。

    师：看来“用被除数直接除以商去求除数的方法”是有局限性的，在特定的情况下比较简便；而用被除数先减去余数，再除以商的方法是个普遍性的规律。（同学们都表示同意）

    教师接着引导——

    师：是哪位同学提出的想法引发了大家的思考，让我们对除法各部分之间的关系理解得这么深刻呀？

    生：是生2。

    师：让我们把热烈的掌声送给他！（全班同学的掌声响起来！）

     ……

    在上述教学中，生2的“意外”想法打乱了教师的教学预设，教师“基于学”做出了正确的价值判断，通过引导与点拨把学生的学习不断引向深入，不仅深化了对知识的理解，而且鼓励了学生的质疑与创新，收获了没有预约的“精彩”。

二、构建以“倾听和对话”为基础的学习共同体

    1、用启发性的问题把课堂对话引向更深层次

    课堂上，学生“真实的回答”与“正确的回答”哪一个更有价值？无疑是前者。教学中，所有学生的积极参与都应该受到鼓励和重视，要尽可能地“引出”而不是“堵塞”学生的真实想法，给各种基于思考的观点与想法提供碰撞的机会。教师积极引导师生之间、生生之间的“互动”和“对话”，而不是只有一个声音。

    课堂上，多一些启发性的问题，比如——

    为什么？你是怎么想的？

    谁还有不一样的想法？

    你能举个例子吗？

    你能让别人一下子就看明白你的思路吗？

    ……

    这些问题会暴露学生不一样的思维和学习风格，会把课堂对话引向更深层次，也会让数学课堂走向丰富。

    以“乘法分配律”的教学为例

    引导学生得出“乘法分配律”的文字与字母表示形式之后

    师：想一想，今天所学的“乘法分配律”与前面学习过的其他运算律有什么不同？

    生1：前面几个运算律，等号左边是几个数，右边也会是几个数，不多也不少。乘法分配律的等号左边是三个数——a、b、c，右边却是四个数——a、c、b、c。

    师：哎，还真是的！你看的真仔细！想一想，为什么右边会多出一个数呢？

    生2：因为c先乘了a，又乘了b，用了两次，所以会多出一个数。

    师：说得好！从左往右看这个等式，c个（a + b）分成了c个a加c个b”；从右往左看，c个a加c个b配成了c个（a + b）。这就是乘法分配律中“分配”两个字的由来。还有别的发现吗？

    生3：我发现前面学过的运算律里面只有一个符号，而乘法分配律里有两个符号。

    师追问：只有一个符号是什么意思？能举例说一说吗？

    生3：比如，加法交换律里面只有加号，乘法结合律里面只有乘号。

    师：大家听懂他的意思了吗？前面这些运算律里面都是只有一种运算，要么是——（生：加法），要么是——（生：乘法）。

    师：乘法分配律里有哪些运算呢？

    生（异口同声）：既有加法，又有乘法。

    师：这是一个很重要的发现，乘法分配律把乘法和加法联系起来了，所以又叫做乘法对加法的分配律。

    质疑：如果把“+”改成“－”，（a－b）×c会不会等于a×c－b×c呢？

    生（异口同声）：不会。

    师：真的吗？

    经此一问，学生的意见开始分化了，有的在坚持——“真的”，有的在动摇——“会等于”，有的已经没有主意了。

    师：怎样验证这个想法是否正确呢？

    生：举例子。

    师：好办法！在数学上，只要找到一个反例就能证明一个说法是错误的，请你用举例子的方法来验证一下刚才的想法是否成立。

    学生经过验证发现：（a－b）×c=a×c－b×c是成立的，是一个规律。

    师：真好！刚才我们将乘法分配律由“两个数的和”拓展到了“两个数的差”。这是一种很有价值的思考。你还能联想到别的吗？

    生：如果不只是2个数，换成3个数的和，还成立不成立呢？

    师：真是一个很好的猜想！换成3个数的和，4个数的和或者更多数的和，结果还会不会相等呢？怎样验证？

    生：举例子、找反例。

    学生经过举例再次验证了自己的猜想。

      ……

    上述教学中，教师紧紧把握住乘法分配律的“内在本质”，引导学生“猜想——验证”，并通过适时的追问与质疑，将学生的探究不断引向深入。

2、要舍得让学生在思考中“浪费”时间

    数学思维是需要时间的，只有给予充分的时间，学生才有可能达到真正的思维状态，才有可能思考得充分，想得明白。为此，应该舍得让学生在思考中“浪费”时间。要让课堂有机会进入一种“胶着的”对话状态；让学生获得正确结论的“速度”来得慢一些；让课堂能够提供学生更多“讨价还价”的机会；……

    教学“路程、时间、速度”一课，在学生初步认识了“速度”的基础上，我逐一出示了如下两道题目，让学生列式解决：

    1、“神舟十号”飞船在太空中5秒钟飞行了约40千米，“神十”飞船的速度约是（  ）。

    2、张叔叔骑自行车外出游玩，2小时行了16千米。张叔叔骑车的速度是（   ）。

    学生很快列出了算式：

    40÷5=8（千米）

    16÷2=8（千米）

    师（故意地）：我发现张叔叔骑车好快呀！他骑车的速度跟“神舟十号”飞船一样快！

    生（齐声反对）：不对不对！张叔叔骑车的速度是每小时8千米，“神舟十号”飞船是每秒钟8千米，飞船比张叔叔快多了！

    师：哦，我明白啦，这两个8千米不一样，是吗？

    生：对，不一样！

    师：可是，从算式的得数和单位名称上看不出来它们不一样啊？都是8千米呀？你能想个办法把这两个8千米区分开吗？

    学生先独立思考，在练习本上写出自己的想法，然后全班交流。

    生1（在黑板上算式得数的下方写出了自己的想法）：每一秒8千米；每小时8千米；

    师：大家看明白了吗？她用的是什么办法？

    生：把走完8千米用的时间分别写出来。

    师：加上走的时间，就能把两个8千米区分开了，真是个好办法！还有别的办法吗？

    生2（在黑板上写出了自己的想法）:在8千米前面分别加上“每一秒”和“每小时”；

    师：他的方法和生1类似，都是加上走的时间，也能区分开，而且写得更简单了。数学就是追求简洁的，还能写得再简单些吗？

    生3（跑上前）：把8千米前面的“每一秒”和“每小时”改成“每秒”和“每时”。

    师：他又省去了两个字，意思改变了吗？

    生：没有改变。

    师：不错。那还能更简单吗？

    生4（跑上前）：在“千米”后面直接添上“秒”和“小时”；

    师：他把单位改成了“千米秒”和“千米小时”，行吗？

    生5：不行，“千米秒”不通顺，我有办法。

    接着，他跑上前在黑板上写出了自己的想法：8（千米）、秒和8（千米）、小时。

    师：你为什么把秒和小时写到括号外面呢？

    生5：这样就不会把“千米”和“秒”混在一起了，还要加个“、”。

    师：这种办法好吗？

    生：好！

    师：同学们真了不起！为了区分两个“8千米”，大家动脑筋想出了这么多好办法！而且大家的想法已经非常接近数学家的方法了，数学家们是在“千米”和“秒”之间加个“/”，“神舟十号”飞船的速度写成“8千米/秒”，把骑车的速度写成“8千米/小时”或者“8千米/时”。大家很了不起！让我们把掌声送给自己！

    师：你发现了没有，速度的单位名称很特别，谁发现它特别在哪儿？

    生：它包含有两个单位名称。

    师（追问）：哪两个单位名称？

    生：路程单位“千米”和时间单位“秒”。

    师：不错，速度单位是由长度单位“千米”和时间单位“秒”复合形成的。你觉得速度单位中的“/”除了把“千米”和“秒”分开之外，还相当于什么符号？

    生：相当于“÷”。

    师：没错儿！从速度的单位也能看出路程、时间和速度的关系——

    生：路程÷时间=速度

     ……

    在上述教学中，教师通过让学生计算“神十”飞船的速度和张叔叔骑车的速度，发现得数都是“8千米”，顺势引导学生思考“张叔叔骑车的速度是不是跟‘神十’一样快呢”，由此引发学生产生新的疑问，产生强烈需要区分这两个“8千米”的需求。学生经过思考之后，自然而然地想到速度单位不能只用路程的单位来表示，还与时间有关，从而建立起复合单位的意识。这样的教学让学生充分经历了知识的“再创造”过程，有效地突破了复合单位的难点，也进一步促进了学生对速度单位的理解。

    我追求的课堂景象：不是发言热闹的课堂，而是用心地相互倾听的课堂；不是对答如流的课堂，而是有迟疑、有困惑的课堂。学生与教师共同围绕一些有价值的数学问题，自由地表达自己的想法，老师同学之间表现出彼此的尊重与友善。

三、倡导以学生为主体的“多样化”学习方式

    1、实现有指导的“再创造”

    科学家们曾经用小白鼠实验研究哺乳动物的神经系统发展，共设置了如下三组进行对照研究。

    第一组：实验人员让小白鼠们吃了就睡，醒了就吃，不提任何要求，让他们自然生长。

    第二组：实验员在让小白鼠们吃了就睡，醒了就吃的基础上，增加一项单一的训练活动，比如踩脚踏车。

    第三组：实验员在让小白鼠们吃了就睡，醒了就吃的基础上，提供丰富多彩的活动。

    实验结果表明，第三组小白鼠的神经系统发展最好，第二组小白鼠的神经系统发展最差。得出的研究结论是，自由宽松的环境，丰富多彩的活动最有益于发展，单一的、机械化的、枯燥重复的训练还不如“什么都不干”。这给我们的教学带来深刻的启示：学习的单一化会把学习活动变成为“沉重的、枯燥的、单调乏味的事”，并最终扼杀儿童的智慧和天赋。

    其实，学习方式并无“好坏”之分，没有一种学习方式能够“包打天下”，适合一切课堂教学。要把传统教学中“听课加做题”的单一化学习转变为以学生为主体的多样化学习——

    听讲做题是学习；

    自主探究是学习；

    课外实践是学习；

    展示、交流、对话也是学习；

    ……

    转变学习方式的深刻意义和价值决不在方式本身，而在于方式转变的背后或深处的意义和价值，其核心是“以人为本”的理念，即以学生为主体,以学会学习为核心。需要指出的是，“以学生为主体”不是让学生无目标、无原则地做“主体”。教师的教和学生的学应该在数学的活动中实现统一，实现“有指导的再创造”。教师的责任就是创设适合于学生进行数学化活动的具体的现实的情境，并有效地指导他们参与到数学化的各个方面中去。

    以探究“用一副三角板能画出多少度的角”的教学为例：

    师：如果用一副三角板画角，能画出哪些度数的角？

    学生独立思考、动手实践后，全班交流。

    师：你能把你画出的角按照一定的顺序排列出来吗？

    生：从小到大排列起来是30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、180°。

    师：这些角中有哪些角是依照三角板上的角直接画出来的？

    生：30°、45°、60°、90°

    师：有哪些是用两个三角板拼起来画成的？

    生：75°、105°、120°、135°、150°、180°

    师：谁能说一说这些度数的角分别是由哪些角拼成的？

    生：75°是由30°和45°拼成的；105°是由45°和60°拼成的；120°是由30°和90°拼成的；135°是由45°和90°拼成的；150°是由60°和90°拼成的；180°是由90°和90°拼成的。（板书）

    师：除了刚才大家说的这些角之外，还能画出其它度数的角吗？

    生：不能了。

    师（启发）：两个角相加可以拼成新的角，如果两个角相减呢？想一想，自己试着画一画，

    生独立思考、尝试画角

    生1：我画出了15°的角！

    师让生1在黑板上示范画15°的角：先画出45°的角，再在里面画出一个30°的角，剩下的就是15°的角。

    同学们很是惊叹：这都可以！太神奇了！大家的掌声自发地响了起来！

    生2：还可以用60°和45°的角画出15°。

    师：你怎么想的？

    生2：60°－45°=15°

    师：非常好！现在我们仔细观察这些从小到大排列起来的角，你有什么发现？

    生3：我发现它们之间都是相差15°。

    生4：不对，有两个角相差的不是15°，150°和180°相差的是30°。

    师：还真是这样啊！

    生5（兴奋地）：我有个想法！很可能有一个165°的角我们还没有画出来，如果画出来了，每两个角之间都会相差15°。

    生5的发言引起了班里部分同学的响应：对！对！有可能！

    师：可是，实践是检验真理的唯一标准，165°的角怎么能用一副三角板画出来呢？

    全班学生陷入了沉思。

    师：想一想，自己试着画一画，看看谁能找到画角的好方法。

    学生独立思考，小组内讨论165°的画法。

    生1：先画出15°的角，再以一条边为基础，画出150°的角，15°和150°加起来就是165°。

    师：可以是可以，但是感觉——

    生：太麻烦了！

    师：有没有更简便的画法呢？

    生2：先画出15°的角，再把15°角的一条边延长（如图），就得到了165°的角。

15°

    师：谁看懂了他的意思？说说这个角为什么是165°？

    生：那两个角合起来是一个平角，就是180°,180°－15°=165°。（掌声）

    师：这种画法确实简便多啦！我们回顾一下刚才寻找角的过程，哪个角最不容易想到？

    生：165°的角。

    师：那我们是怎么找到165°的角的？

    生：我们是先猜想有165°的角，再去画一画，去验证。

    师：没错！我们是先找到了这些角的排列规律，发现相邻的两个角都是相差15°，只有150°和180°却相差了30°；接着，我们就猜想可能它们之间还有一个角没有找到，这个角就是165°；然后，我们就想办法画出165°的角，根据15°角画出了165°的角。你觉得在找到165°角的这个过程中，什么最重要？

    生：猜想最重要。

    师：确实，猜想最重要，猜想不是“瞎猜”，而是从已有的事实出发，根据规律进行合情推理（板书：合情推理），科学家们在科学研究中经常用到这种研究方法，比如，天文学家就是运用这样的方法发现了太阳系中的冥王星。

    教师介绍科学史上“冥王星的发现过程”。

    师：生5很了不起！她发现了角度中的“冥王星”！（同学们的掌声再一次响起）

     ……

    在上述教学中，教师指导学生从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过合情推理去探索思路，推断结果，发现结论，学生在“再创造”过程中迸发出来的学习热情和创新“火花”让人欣喜！令人赞叹！

2、教学重在启发学生思考

    与知识的学习相比，思维的训练和能力的培养更加重要。为此，要尽可能让学生经历知识的形成过程，更加关注学生学习的投入质量和教学的思考性，让学生的学习真正成为充满思考的学习过程。课堂上的“动与静”都只是表象，学生思维的深度才是更重要的。

    以“三位数乘两位数”教学为例，在练习阶段，出示了如下题目。

     234×11=   325×11=   547×11=    384×11=

    待学生列竖式计算后，引导学生发现“一个三位数乘11的规律”。

    接着，引导学生发现“规律”背后的道理：先用这个三位数乘10，再加上这个数本身，就等于这个三位数乘11。既巩固了乘法的意义，又渗透了乘法分配律。

    然后又出示了三道“三位数乘11”的题目，学生很快就算出了得数，已经很少有人再去列竖式计算了。

    我乘胜追击，又出示了下面几道题：

    234×22=    123×33=    126×44=

    学生看了看这几道题，开始并没有发现规律，不少人又低头列起竖式来。

    我启发：难道只有列竖式这一条路吗？这几道题跟前面“乘11”的题目有联系吗？

    学生恍然大悟，欣喜地叫了起来，“哦！可以把22看成11×2，33看成11×3，44看成11×4，就可以用‘三位数乘11的规律’了！”

    ……

    在上述教学中，把基本技能的训练与其他思维能力的培养有机地结合起来，引导学生由单纯的计算（“动手”）转向更为深入的思考（“动脑”）。学生既进行了三位数乘两位数的练习，同时也发现了有趣的规律。在探索合理简洁的计算方法过程中，学生感悟到“计算也需要审题”，学生解决问题的策略会更加合理与简洁，也会让学生体会到计算中也有策略和发现的欣喜，平淡的计算教学就会更多一些思维的乐趣。

    一个真正优秀的教师必须留一份纯真，学会从孩子的角度去思考问题，从孩子生命成长的高度去思考教学。真正把课堂还给学生，让教学从封闭走向开放，从预设走向生成，从关注教案的落实走向关注学生的思维，从关注问题的答案走向关注学生的学习需要。唯如此，学生的学习才会真正发生。