“认识百分数”已先后上过几个版本，这是2014版。教无止境！学无止境！ 

 

追求“真正意义上的理解”

——“认识百分数”教学实践与思考

                                牛献礼

 

课前思考：

    数学概念教学到底是教“形式化的定义”还是追求学生“真正意义上的理解”？显然，我们应该追求后者。学生是否理解一个概念不在于能否说出它的“定义”，而在于能否把握概念的本质特征，能否在具体情境中正确运用概念解决问题。

    对于“百分数意义”的认识，很多教师定位在会用“表示一个数是另一个数的百分之几”描述百分数的具体意义。比如，学生看到羊毛衫标签上的“86%”能够说出这个86%表示 “羊毛含量是羊毛衫的86%”，就被认为掌握了百分数的意义。笔者认为，这样教学，学生对于百分数的认识并不深入，对百分数意义的理解也不全面。要正确理解百分数的本质属性，重要的是理解具体情境中百分数的意义，即它表示的是“谁与谁比较”“谁是谁的百分之几”“谁是百分之百”；体会百分数与除法、分数之间的联系，即它们都表示一种倍数或比的关系；理解百分数只能表示两个数之间比的关系，不能表示某个数量的具体大小，分辨百分数与除法、分数之间的区别。更进一步，要学会应用百分数的意义，选择正确的百分数运用于问题情境，或者对问题情境中百分数应用的合理性作出评价。对数学概念的学习，只有将思维水平提升到这一层次，才能实现从数学知识到数学能力的发展目标。

    对学生的课前调研发现，几乎所有学生都知道百分数，并且能够正确地认、读。对于现实生活中常见的百分数，如“果汁含量56%”、“含棉100%” 之类表示部分与整体关系的百分数比较容易理解，大多数学生能够解释它们的具体意义，而对于两个独立数量之间的关系比较则表述不清，难以理解大于100%的百分数。更重要的是，他们并未有意识地去思考不同生活场景中百分数的联系，即还没有从抽象的角度去认识百分数。对于百分数的写法，相当多学生的书写顺序不对，或是百分号的写法不规范。显然，学生对百分数的认识还仅仅停留在经验层面，要让学生真正理解百分数的意义，教师必须帮助学生把零散的生活经验抽象为数学知识，借助几何直观促进学生理解“部分与总量的关系”以及“两个量之间的关系”这两种百分数的意义。

    基于此，制定教学目标如下：

    1、感受百分数在实际生活中的广泛应用，能正确读、写百分数。

    2、借助几何直观理解百分数的意义，初步体会用百分数表示部分与整体的关系时，它小于或等于100%；表示两个独立数量的关系时，它可以大于100%，感受百分数与除法、分数等都表示一种倍数或比例关系，分辨百分数与分数、除法之间的区别。

    3、能选择正确的百分数运用于问题情境，或对问题情境中百分数应用的合理性作出评价，发展学生的数感。

教学过程：

一、联系生活，初步感知，教学百分数的读写。

师：今天我们一起学习百分数。在生活中见到过百分数吗？能举个例子说说吗？（生举例）

（出示：）读出下面服装成分中的百分数。

羊毛86% 羊绒14%

 

棉  60.2% 涤纶  36.4% 氨纶 3.4%

让学生试着读出百分数。

师：这里的86%就是我们学过的分数86/100。百分数通常不写成分数形式，而是在原来的分子后面加上百分号“%”来表示。（示范：%的写法，让学生在练习本上试着写2个%）

出示：一种饮料有三种成分，其中苹果汁占百分之六十，胡萝卜汁占百分之二十五，水占百分之十五。

让学生试着写出这几个百分数。

二、数形结合，对比辨析，理解具体情境中百分数的意义。

1、理解表示部分与整体关系的百分数的意义

（出示）一种饮料有三种成分，其中苹果汁占60%，胡萝卜汁占25%，水占15%。

师：这里的60%，表示什么意思？

生：苹果汁是饮料总量的60%。

师：你能画图表示出60%吗？

学生独立画图，全班交流时，教师有序地反馈学生的作品，并让学生讲自己的想法。

出示图1：

 

生1：60%超过一半了，我就画了整个长方形的一多半儿，表示60%。

师：你觉得这幅图怎么样？

生：他没有把图平均分，画得不准确，看起来像80%。

师：如果要准确地表示60%，该怎样画呢？

出示图2：

 

生2：我把长方形平均分成10份，其中阴影部分占6份，就是60%。

出示图3：

 

生3：我把长方形平均分成5份，阴影部分占3份，就是3/5，也就是60%。

出示图4：

 

 

                 60%

生4：我是把一条线段平均分成10份，其中的6份就是它的60%。

师：大家很棒！想出来这么多表示方法！不管是哪种表示方法，60%都是把谁看成单位“1”？是谁和谁比较的结果？

生：饮料总量是单位“1”，苹果汁和饮料总量在比较，占饮料总量的60%。

60%

师：如果用一个正方形表示饮料的总量（出示：将正方形平均分成100个方格）苹果汁的含量该怎样表示？

生：涂60格就表示苹果汁所占的60%。

师：表示胡萝卜汁含量应该涂上几个格子呢？（25个方格）剩下的该用哪个百分数表示？（15%）

师：这三个百分数，如果用分数表示是这样的：苹果汁占3/5，胡萝卜汁占1/4，水占3/20。跟百分数想比，你觉得哪种形式更好？为什么？

生：用百分数表示更好，只需要看百分号前面的数就可以了，更容易比较。

师：正是由于百分数更加方便比较，所以在工作和生活中经常会用到它。

出示：“中华人民共和国国家统计局网站”下载的信息

2012年，全国主要粮食品种中，稻谷产量增产1.6%；小麦产量增产2.7%；玉米产量增产8.0%。

师：哪个品种增产最多？哪个品种增产最少？你是怎么比的？

生：三个数中，8.0最大，1.6最小，所以玉米增长最多，稻谷增产最少。

师：比较大小时，只要看百分号前面的数就可以比较出来了，确实简单、方便。

师:生活中很多人喜欢喝纯度更高的苹果汁，如果苹果汁占到了99%。怎样画图来表示苹果汁的含量呢？（根据学生回答，课件演示）

师：如果苹果汁的含量再高一些，可能是百分之几？

生：100%

师：当苹果汁是饮料总量的100%时，这个饮料就变成了什么？（纯苹果汁）想一想，苹果汁的含量能超过100%吗？为什么？

生1：我认为可以，因为苹果汁可以不断“提纯”嘛，最终是可以超过100%的。

生1的观点有不少的“拥趸”，不少人纷纷表示赞同。

生2：我在生活中就见过超过100%的百分数。

生3：我不同意，如果苹果汁的含量超过100%，就超过了饮料总量，就装不下了！

师（故意调侃）：你的意思是瓶子小，装不下了，那可以换个大瓶子嘛！（众生笑）

生4：我来补充一下，不是装下装不下的问题，苹果汁本身就是饮料总量的一部分，苹果汁再多，也不可能超过饮料总量啊！

师：可以接着“提纯”嘛？（众生笑）

生4：再“提纯”也不行，苹果汁是饮料总量的一部分，部分量最多跟总量相等，不可能超过总量！

生1：哦！我想通了！饮料总量里包含着苹果汁，它们是部分和整体的关系，所以不管怎么“提纯”，苹果汁最多占饮料总量的100%，不可能超过100%！

同学们自发地给他鼓起掌来！

2、理解表示两个独立数量关系的百分数的意义

师（出示图）：看图说说甲车的速度是乙车的百分之几？你是怎么想的？　　　　　　　　　

                       　　    

乙车速度

甲车速度

 

生：甲车速度是乙车速度的80％。

师：谁是单位“1”？谁和谁在比较？

生：乙车速度是单位“1”，甲车速度和乙车速度在比较。

师：如果乙车的速度不变，甲车的速度逐渐加快，那么甲车的速度可能是乙车的百分之几？　

（演示：表示甲车速度的那条线段不断增长。）当甲车的速度是乙车的100％时，说明什么？

生：说明甲车速度和乙车速度相等。

（演示：表示甲车速度的线段长度超过了表示乙车速度的线段）

师：这时甲车的速度是乙车速度的百分之几？

生：110%

师：甲车的速度可以是乙车的110％吗？

生：可以呀!

师：但是刚才我们研究的苹果汁问题，为什么饮料中苹果汁的含量最多只能是100%，而甲车的速度可以是乙车的110%呢？

生1：因为苹果汁是饮料总量的一部分，再多也就是和总量一样多。而甲车的速度和乙车速度比较，乙车速度就是一个参照，甲车的速度可以超过它。

师：他讲“乙车速度”是两个数比较时的一个参照，也就是作比较的一个标准，非常好！甲车的速度是乙车的110％，说明甲车速度比乙车速度——

生：快。

师：说得好！甲车的速度是乙车的110%，也可以说甲车的速度是乙车的1.1倍，这和我们以前学过的“倍数关系”是一样的，只是表示的形式发生了变化。

3、归纳百分数的意义

师：通过刚才对百分数的学习，你对百分数有了哪些新的认识呢？

小组讨论

生1：我觉得百分数表示两个数在比较。

生2：我感觉百分数跟分数一样，都有单位“1”的量，有另一个量跟它比较。

师：说得好！百分数表示一个数是另一个数的百分之几。

三、应用拓展，沟通联系，深化理解百分数的意义。

选择合适的数填在括号里。

40％　 90％　 100％  　75/100    150％   0.03%

（出示）1、学校合唱队中，女生人数是男生的（   ）。

生1：填90%

生2：还可以填100%

师：填90%，说明什么？填100%又说明什么？

生：填90%，说明女生人数比男生人数少；填100%，说明女生人数和男生人数同样多。

师：如果女生人数比男生多，你们认为可以填百分之几？

生：150%

师：如果女生人数是男生的150%，（出示）：女生人数与男生人数的比是（　　）：（　　）？

生：150:100

师：其实，百分数就是一个数与100的比，所以百分数也叫百分比。

（出示）2、张叔叔是个投篮高手，两分球的命中率达到了（　　　）。

师：命中率是什么意思？

生：投中的个数是投球总数的百分之几。

师：你觉得选择哪个百分数更合适？为什么？

生1：选90%合适，因为他是“投篮高手”嘛！

生2：或者选100%，张叔叔“百发百中”！

师：看了下面这个介绍，也许你的想法会改变。

（出示：姚明被公认为ＮＢＡ最全面的中锋，在ＮＢＡ2004～2005赛季，他的两分球投篮命中率高达52.4％，在全ＮＢＡ排名第三。）　

（看完材料，学生与听课教师都是一片哗然）

师：现在你觉得哪个百分数更合适？

生：40%合适。

师：命中率达到40%，已经算是投篮高手啦！

师（质疑）：投篮要么进了，要么没有进，怎么会有52.4％呢？

生：52.5%表示的是投中的个数占投球总数的百分之几，不是真的就投中52.4个。

师：没错,命中率52.5%表示投中个数占投球总数的百分之几，不代表具体投中多少个，所以百分数又叫百分率。

（出示）3、某超市想举行 “迎元旦”购物摸奖活动，中奖率为（       ）。

生1：中奖率是100%，人人都能中奖，这样会有更多的人来超市买东西。

生2：中奖率是90%，中奖的人很多，但也不是人人都能中奖，会更有意思。

师：大家都设想中奖率高一些，以吸引更多的顾客来消费，说得很有道理！能不能选择150%？摸奖的中奖率很高，高达150%。

生1：不能，中奖率再高，最多是100%，不可能是150%。

生2；我补充一下，中奖率是中奖数占总数的百分之几，既使人人都中奖，最多跟总数相等，也只是100%，不会超过100%。

4、一条绳子长约（    ）米，

生1：我选择150%米，我见过这样长的绳子。

生2：我选100%米，有1米长的绳子。

生3：我选75/100，其他百分数都不合适。

师：为什么？

生3：因为百分数表示一个数是另一个数的百分之几，是两个数量比较的结果。可是，这个题目中说的是“一条绳子长（  ）米”，只有一个数量，没有单位“1”，所以不能选百分数。

师：分数既可以表示两个数量相比的结果，还可以表示一个具体的数量；百分数只能表示两个数量相比的结果。这道题目表示的是绳子的具体长度，所以只能选择分数，不能选百分数。

（出示）5、我国的土地面积正在以每年(    )的速度被沙漠侵吞。

生：0.03%。

师：大家可不要小看这0.03%，谁是单位“1”？

生：我国的土地面积。

师：是啊，这可是960万平方千米的0.03%啊！面积大约是3000平方千米，杭州西湖的面积大约是6平方千米，所以我国每年土地沙漠化的面积大约有500个西湖那么大呀！听到这个数据，你有什么想法？

生：太让人吃惊了！

师：保护环境，刻不容缓！

四、课堂总结，质疑引申，把百分数的学习引向课外。

回顾与反思：你对百分数有了哪些新的认识？有什么学习体会？

引申：生活中有百分数，那么有没有十分数或者千分数？

请大家课外寻找生活中的十分数和千分数。