追求“真正意义上的理解”

                           —— “鸡兔同笼”教学思考与实践

              　　              牛献礼

 

教学思考：

    “鸡兔同笼”是我国的一道历史名题，既有趣又益智，在国标新教材中，不少版本都有编排。人教版是在六年级上册“数学广角”中详细介绍了“鸡兔同笼”问题的出处、几种典型解法及实际应用，突出“解决问题策略的多样化”。

    据了解，目前六年级教学“鸡兔同笼”问题大多以假设法为主，主要有以下几种课型结构：1、几种方法一起教。其中以列表、假设和方程三种方法一起教学居多，侧重于假设法和列方程的解法；2、专门教学假设法；3、将学生置于一种“已会”的状态，经“学生尝试——反馈交流——教师引导”，让学生在多种解题方法的比较中感悟假设法的优点。但是在课后检测时，上述教法无一例外地出现了尴尬。尴尬一：张冠李戴。假设是兔（鸡），求出来的也是兔（鸡）。学生只知机械套用假设法思路列式计算，却不知道算出来的结果是鸡的只数还是兔的只数，说明学生并没有真正理解假设法。尴尬二：只知鸡兔，不知其他。也就是不会类比联想，不能学以致用。那么，问题究竟出在哪里呢？

    在传统教法中，教师往往忽视的是这个结果是怎么“出来”的，教师最容易产生的教学缺陷是满足于结果的呈现，满足于和好学生一对一的互动。教师所谓的假设法只是具体地解决了“如何假设”的问题，而对于“为什么要假设？”、“怎样理解推理的过程？”这些关键问题，教师却未能有效提点，造成很多学生对假设法只是“一知半解”，后面的练习也只能是“依葫芦画瓢”，一旦遇到全新的问题，自然束手无策。那么，假设法与其它解法之间是否有本质的联系？能否借助其他解法帮助学生在假设的过程中“知其所以然”，达到对假设法“真正意义上的理解”呢？

    调研发现，在解决“鸡兔同笼”问题的几种基本方法中，枚举法是学生解决“鸡兔同笼”问题的“土方”，属于“不教就会的知识”；画图法对于六年级的学生而言，显得过于“低级”了，几乎无人选用（注：如果课堂上没有学生提到画图的解法，也不必画蛇添足地进行讲解）；列表法是先假设鸡或兔的只数，再一个一个地进行尝试、推算，假设法也是利用“假设全部是鸡或全部是兔”来思考推理的。从这个思维层面上讲，列表其实也是假设法的一种表现形式，假设法可以看成是对列表法的进一步抽象和提升；而方程解法实际上是列表解法的逆向过程（张景中院士说：方程是函数的逆运算），且方程解法的难点不在理解等量关系上，而在于如何解方程（小学阶段也不要求解这样复杂的方程），这显然不符合“鸡兔同笼”问题教学的本意。

    综上所述，教学“鸡兔同笼”问题，要把假设的思想方法作为解决“鸡兔同笼”问题所有方法中最基本的解题方法，在教学中应该将直观的列表法与抽象的假设法进行沟通与联系，借助列表让学生真正理解假设法，以发展学生的思维能力。

    同时，要帮助学生建构简单的数学模型。数学模型是联系数学与现实世界的桥梁，要“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。”教学中，应该从“鸡兔”、“龟鹤”等事物、对象出发提炼出简单的问题模型，再将模型演绎到各种生活现象和问题情境中，从而促进模型的进一步内化，完成模型的建构与应用。

    有了上述思考，笔者对“鸡兔同笼”教学进行了重新设计并付诸实践。

教学过程：

一、列表尝试，沟通联系。

　　１、列表尝试，有序思考。

   （出示）一个笼子里有鸡和兔共8只，鸡和兔各可能几只？请把你的思考写在纸上。

    学生独立完成，全班交流典型写法：

    生1：将1、7；2、6；3、5……竖着写成两列；

    生2：用小括号一组组地写，即（1，7）；（2，6）；（3，5）；……

    生3：列表

1	7
2	6
3	5
……	……

 

    师：像这样用表格等方法将我们的猜测有序地展现出来，不容易重复，也不容易遗漏。从表格看，如果鸡的数量确定了，那么兔的数量也就确定了。笼子里到底是几只兔几只鸡能确定吗？

    生：不确定

    师：如果再增加一个条件：“从下面数，共有22只脚”，现在你知道有几只鸡几只兔吗？

    学生尝试列表解决问题。

头／个	鸡／只	兔／只	脚／只
8	１	7	３０
8	２	6	２８
8	３	５	２６
８	４	４	２４
８	５	３	２２

    师：虽然题目是“一个笼子里有鸡和兔共8只”，但是，考虑极端的情况是数学里常用的研究方法，所以也可以从“假设鸡有0只，兔有8只”开始想起。

（在表格中添上“0，8”）

    师：仔细观察，从这张表格中你发现了什么规律？

    生１：增加一只鸡，就会少一只兔，脚的总只数就会减少２只。

    生２：如果脚要减少２只，应该将１只兔换成１只鸡；脚要增加２只，应该将１只鸡换成１只兔。

    师：如果脚要减少１０只，应该将几只兔换成几只鸡？怎样算的？（１０÷２＝５）脚要增加１０只呢？

  （思考：这一环节是训练学生通过有序记录表现自己的有序思考，进而聚焦于列表尝试。在此基础上，将“0、8”这一组极端数据在表上呈现出来，指出这是一种数学方法，同时“0、8”对应的“假设全是兔（鸡）”这样的意义，学生也能理解。这有利于提升学生对列举法的认识，也有利于后续假设法的学习。接着，引导学生分析表格中的数据时发现：随着鸡的数量逐一增加，鸡和兔脚的总只数就2只2只的减少。正是由于这一基本的变化规律，我们很容易得出“如果脚要减少2只，应该将1只兔换成１只鸡。反之，脚要增加2只，应该将１只鸡换成１只兔”。老师进一步引导学生思考：“如果脚要减少（增加）10只，应该将几只兔（鸡）变成几只鸡（兔）？”正是有了这些观察思考的基础，才使得后面的跳跃列表有了更多的思维含量，也为“假设法”的提出做好了铺垫。）

　　２、跳跃列表，感知假设

头／个	鸡／只	兔／只	脚／只
8	１	7	３０
8	(    )	(    )	２２

    师：刚才我们列表是一个一个地尝试、推算的，如果鸡和兔的数量比较大，这样试起来就太麻烦了！可不可以跳着试，甚至直接跳到５只鸡呢？怎么去想呢？

    生1：当鸡有1只兔有7只时，脚有30只，比22只多很多，我就跳着试，假设3只鸡5只兔，脚就有3×2+4×5=26（只），还比22只多，我再试5只鸡3只兔，脚就有2×5+4×3=22（只），就找到答案了。

    生2：我是这样想的，当鸡有1只兔有７只时，脚有30只，比实际的数多８只，根据刚才表格发现的规律：将1只兔换成1只鸡，脚要减少2只，８里面有４个2，所以就一下子跳到５，马上找到准确的脚数。

    师：好方法！一一列举再一一计算确实太麻烦，跳着列举、跳着计算，靠计算来指导“跳”就能很快地找到答案。

3、沟通方法，凸显假设。

    师：我们再往下深入一步：如果不列表，你能计算出鸡和兔的只数吗？

    生1：假设笼子里全是鸡，就有８×2=16（只）脚，而实际上却有22只脚，比实际少了6只脚，而每把一只鸡换成兔子就增加2只脚，要补足６只，要换６÷2=３（只），所以兔子一共是３只。

    师：如果假设全是兔呢？

    生２：假设全是兔，就有4×8=32（只）脚，比实际多了10只。这是因为把一只鸡看成兔，就会多2只脚。10÷2=5（只），说明是把5只鸡看成了兔，所以鸡有5只，兔有3只。

    师：这种方法叫做假设法，你觉得假设法与前面的列表方法有联系吗？

    生：列表方法也是假设，先假设是几只鸡几只兔，再一个一个去试或者跳着试。

　　（思考：给学生提供充分的自主探索和交流互动的空间，特别是对跳跃列表的技巧和方法的探索与交流，增强学生对列表法的体验和感悟。当教师追问“不用列表你能计算出结果吗？”学生完全可以根据列表中发现的规律轻松获得计算的方法。在此基础上，教师提出“你觉得假设法与前面的列表方法有联系吗？”时，学生能够很好地沟通列表与假设的联系，使得列表成为理解假设法的拐杖，成了发展学生思维能力的载体。）

二、回顾历史，建立模型。

　　师：“鸡兔同笼”问题是一个经典的数学问题，也是一道数学古题。大约1500年前，我国古代数学名著《孙子算经》中就记载了“鸡兔同笼”问题，并给出了一种很有意思的计算方法：

（出示：脚数÷2－头数＝兔数     头数－兔数＝鸡数）

    师：上面的题目可以列式为：22÷2－8=3   8－3=5（只），答案完全正确，古人很了不起吧？其实对这个问题，不但咱们中国人有研究，也有外国人关注它，美国数学家波利亚曾经讲了一个很有趣的故事解释了中国古人解法的道理：

    有一天鸡和兔在草地上玩，鸡突发奇想对兔子说：“我会金鸡独立！”说着就将一只脚提起来。兔子也不甘示弱：“我也会！”于是，兔子也将两条前腿提起来。这时草地上的总脚数是不是只剩下原来的一半了？22÷2＝11（只）这时草地上的脚数是不是还比鸡兔的总只数多一些呢？11－8=3（只）为什么会多？不就是因为每只兔子有两只脚吗？这样总共多了几只脚就有几只兔子，3÷（2－1）=3（只）而剩下的就是鸡了。8－3＝5（只）

　　师：日本人对“鸡兔同笼”问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。

　　（出示：龟鹤的图片）

　　师：日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？

　　生：是一样的意思，龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。

　　师：假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，是不是还可以给它取个其它的名字呢？

    生1：鸭狗问题。

    生2：人马问题。 

    ……

　　师：看来鸡兔同笼不仅仅可以解决“鸡兔”同笼的问题，换成乌龟和仙鹤，换成人和马，仍然是鸡兔同笼问题，“鸡兔”同笼其实只是这类问题一个模型！

   （思考：通过“鸡兔”、“龟鹤”、“人马”等不同变式的呈现，使学生初步感知鸡兔同笼问题只是一个 “模型”，虽然问题的情境在变化，但问题的本质——数量之间的关系是不变的。学生在解决这些问题的过程中逐渐形成鸡兔同笼问题的解题策略和思路，开始初步建构起关于鸡兔同笼问题的数学模型。）

三、运用模型，巩固新知

　　师：生活中有类似“鸡兔同笼”的问题吗？

　　（出示）自行车和三轮车共10辆，总共有26个轮子。自行车和三轮车各有多少辆？

    （出示）信封里放着5元和2元的钞票，共8张，34元，信封里5元和2元的钞票各有多少张？

    师：这些问题跟“鸡兔同笼”问题有关联吗？

    生1：第1题里的自行车相当于2只脚的鸡，三轮车相当于3只脚的猫。

    师：三脚猫。

    生2：第2题里的2元钞票相当于鸡有2只脚，而5元的钞票就相当于兔，是5只脚的怪兔。

    师：看来“鸡兔同笼”不只是代表着鸡、兔同笼的问题，有很多类似的问题都可以看成是“鸡兔同笼”问题。　

    生独立解答，集体评议、反馈。

（思考：学生在不同的生活场境中应用模型解决实际问题，既可使学生在实践中领悟数学建模的价值，又能增强学生数学应用的意识与能力。）

四、回顾反思，提升认识

    师：同学们，鸡兔同笼，把鸡和兔关在一个笼子里现实生活中不太可能出现，但在我国，为什么能作为一个数学名题流传至今呢？

    生1：因为这题很有趣，能训练我们的思维。

    生2：因为生活中有很多问题跟鸡兔同笼问题类似，可以用解决鸡兔同笼问题的方法解决。

    ……

    师：从一个具体的数学问题出发，研究解法，并上升到一种模型，最后进行广泛的运用，数学就是这样发展起来的。同样，如果我们在学习数学问题时也有了“模型意识”，就能举一反三、触类旁通，你就会变得越来越聪明的。