四年级下“创新思维数学讲义”——

        方阵问题                  

                                       陈 梅

热身场

国王和他的家人住在一个美丽的城堡里，每天他都会派一支精锐的卫队在城堡周围的城墙上站岗，时刻警惕保护他的家人，规定每面城墙都有8人来值班。一天国王突然想了解他的这支卫队是否忠于职守，于是亲自悄悄地来到城墙上，数了数四面墙上的人数，他很高兴。因为卫队的良好表现，觉得自己的家人很安全。决定奖励这支卫队，立即叫卫队队长集合所有士兵。国王一看来的士兵问：“刚才站岗的不是有32人吗，为什么只来了24人呢？”队长说只有24人，全部到位。国王还是百思不得其解。同学们，你能给国王解释一下原因吗？

这个故事涉及到了数学领域的巧妙布阵。聪明的同学，在电视上你是否看到过军队的阅兵仪式?还记得学校团体操的表演、运动会的入场式吗？他们的队列都称为方阵，下面我们就一起进入方阵问题的研究和学习中吧！

健身园

【例1】元旦那天，花匠们要在公园门口摆一个正方形空心花坛，四个角上都放一个花盆，且使每边都放8盆花，四周一共要放多少盆花？

【分析与思考】这是一道很基本的空心方阵问题，可以通过画简单的示意图的教会学生四种解题方法:如图①把四周的花盆平均分成四份，先求一份的花盆个数8-1=7（盆）再求四份共多少盆。如图②可以先去掉四角上的花盆，再把剩下的花盆分成四个相等的部分求出总数（8-2）×4=24（盆），再加上四角上的4盆花。如图③把四周的花盆分成两组：上下边一组各是8盆，左右边一组各是8-2=6（盆），然后再相加得到总盆数。如图④按题意每边都算8盆花，这样共有8×4=32（盆），再减去重复算了两遍的4盆花，然后算出四周花盆的总数。

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          ①             ②            ③             ④

【练一练】

⒈有一个正方形的水池，现在要在它的四周栽上一周柳树。如果每边栽9棵，一共要准备多少棵柳树？（用两种方法解题）

⒉有若干枚棋子，正好可以排成每边是10枚的正方形，棋子的总数有多少枚？棋子的最外层有多少枚？

【例2】某校四年级组成一个正方形队列参加表演，后来由于服装不够，只好减少21人参加，刚好使横竖各减少一排，四年级原来准备多少人参加表演？

【分析与思考】正方形队列的每行、毎列人数相等，根据题意横竖各减少一排，那么必然有一人且只有一人同时属于被减去的一行和一列之中，也就是去掉横竖各一排时，去掉的总人数是原每行人数×2-1，由此可以求出原来每行的人数，进而可以求出四年级原有的人数。

【练一练】

⒈四年级组成一个正方形的队列，准备参加学校的课间操比赛，队列的第一横排和第一竖列共有23人，四年级参赛的共多少人？

⒉同学们排了一个方阵鲜花队，如果这个队列横竖再增加一排，就需要增加19人，参加队列的同学原来一共有多少人？

【例3】四年级学生参加“六一”活动，排成一个三层的空心方阵进行表演，已知最外层每边有12人，这个方阵一共有多少人？

【分析与思考】根据题目条件如果把空心部分也站满人，则共有12×12=144（人），而空心部分为每边12-2×3=6（人）的方阵，其人数为6×6=36（人），所以，求实际有多少人，就是求12人的方阵人数与6人的方阵人数的差。

【练一练】

小军用棋子摆了一个四层的空心方阵，最外层每边16颗，这个方阵一共用棋子多少颗？

【例4】有一个团体操表演队形，想排成每边3层的中空方阵，已知参加表演的人数有204人，最外层每边应安排多少人？

【分析与思考】由条件可知，所安排的中空方阵可以分成相等的四个部分，（如图）并且每部分的人数为204÷4=51（人），由于每个部分排成的是3层，则每层人数为51÷3=17（人）那么方阵最外层每边的人数与每个部分一层的人数及层数有个怎样的等量关系呢？

http://s6/mw690/001qVY3Jgy6Ri3BBJUF35&690

【练一练】

一次运动会的开幕式上，416名少先队员手捧鲜花摆成了一个四层的空心方阵，最里层的每边上有多少名少先队员？

【例5】有棋子若干颗，摆成三层中空方阵还多9颗，在中空增加一层则缺少7颗，棋子共有多少颗？

【分析与思考】由条件可知中空部分增加一层需要的棋子数量是9 7=16（颗）这样就可以求出增加这一层每边的棋子颗数（5颗），再根据相邻两层每边颗数之间的关系可以推出最外层每边有的颗数，然后根据例3的方法求出棋子的总颗数。

【练一练】

⒈同学们把学校的盆花摆成了一个实心方阵还剩下4盆，如果横竖各增加一排成为一个大的实心方阵，又少了15盆，学校一共养了多少盆花？

⒉有学生若干人，想排成一个正方形的方阵，结果多出7人，如果每行毎列再增加一个人，则少了14人，学生共有多少人？

竞技台

⒈某学校四年级同学参加团体操汇报表演，排成了每行25人，共25行的方阵，参加团体操汇报表演的同学共有多少人？

⒉同学们在校门口用花盆摆了一个正方形空心花坛，四个角上都有一盆花，四边各放6盆，四周一共放了多少盆花？

⒊植树节到了，园林工人在沙隆达广场的三角形草地上栽树，每边都栽了4棵，应该怎样栽（画出示意图）？至少栽多少棵？

4.在一块长60米，宽40米的空地上，李大爷在长边上每隔10米种一棵树苗，宽边上每隔8米种一棵树苗，四个顶点也都种了一棵树苗，李大爷在这块空地上共种下了多少棵树苗？

⒌一个五层的空心方阵，共由500个点组成，它的最里层共有多少个点？

⒍有10棵雪松，要求栽成5行，每行都有4棵，应该怎样栽？（画出示意图）

⒎在用棋子摆成的一个方阵中，小红从最外边拿走了一横行和一竖列，一共拿掉了13颗棋子，算一算，这个方阵原来有多少颗棋子？

⒏部队士兵进行队列表演，组成了一个外层有48人，内层有16人的多层中空方阵，这个方阵有几层？共有多少士兵参加？

⒐同学们植树，如果每行每列的棵树相等，将多出25棵；如果每行每列再增加一棵，将多出6棵，问共有树多少棵？

 ⒑由192枚棋子组成4层的空心方阵，现将其最外层棋子放入里层，这样全部棋子就组成几层空心方阵？