无穷小微积分简介 

当今，微信公众号“无穷小微积分”开通近半年，但是，什么是“无穷小微积分”，却不甚了了。

党的十八大之后，老翁发表博文介绍什么是鲁不宾逊“无穷小微积分”，原文如下：

袁萌   5月21日

附：

无穷小微积分（Keisler著）的简介  (此文发表于2012-11-27 ）

上世纪中叶（1976年）出版的“Elementary Calculus”(by Jerome Keisler是一本基于无穷小概念的初等微积分学教程，读书主题十分广泛。全书共分14章，不算本书的第二版前言以及附在书后的”后记“（Epilogue），共计900多页（大开本厚书）。

本书各章节的名称如下：

第一章：实数与超实数；第二章：微分法；第三章：连续函数；第四章：积分法；第五章：极限，解析几何与逼近法；第六章：积分的应用；第七章：三角函数；第八章：指数与对数函数；第九章：无穷级数；第十章：向量；第十一章：偏微分法；第十二章：多重积分；第十三章：向量分析；第十四章：微分方程，以及本书的后记。

本书作者Jerome Keisler生于1936年12月3日，其博士指导教师是大名鼎鼎的数理逻辑学家Alfred Tarski（at Berkely），博士论文”超积与初等类“。值得注意的是，”超积“（即由无穷序列构成的集合）相对超滤器的等价分类就导致非标准模型的研究。回顾上世纪50年代，非标准模型的研究成果大量涌现，特别是，在1960年前后，A. Robinson建立了无穷小的严格数学基础，重新恢复了”无穷小“在现代数学中的名誉。

从1969年开始，30出头的Keisler勇敢地投身到把”无穷小“重新引入现代微积分教学活动的”洪流“（是一番“大事业”）中去。在世界”模型论“兴起的历史大背景下，1976年，由Keisler执笔撰写的完全针对初学者的”初等微积分“（Elementary Calculus）教科书（基于无穷小方法）终于出版了，世人的眼睛为此一亮。这是世界上第一本严格意义的”无穷小微积分“的基础教材，所以值得祝贺（时间太晚了）。

面向一个对数学知识”基本无知“的学生，如何讲授微积分确实具有很大的挑战性。怎么由浅入深，循序渐近？这一切必须遵守教学规律，不能“独出心裁”，胡乱地”自主创新“。在深入教学第一线，了解情况，积累经验的基础上，该书作者大胆地从几何直观切入，首先给学生建立起“超实线”（Hyperreal line）的观念，一步一步深入，直接指向微积分的根本问题：寻求基于无穷小概念的变量“变化率”（比如，寻求切线的斜率与运动质点的速度）。在该书第一章，从最基本的数学概念讲起，处处为无穷小的登场埋下“伏笔”，顺利地逐步引导学生进入“主题”，甚至是“高潮”。对学生而言，引入“无穷小”是非常自然的事情，完全不会产生“心理负担”，而且，还会产生学习数学的浓厚兴趣。

该书第一章有许多这样的“启发示意图”：

（图形在此省略）

图中，我们可以看到”超实线“（Hyperreal straight）的字样。最有意思的是，这里有一个指向“切点”的显微镜（Microscope)，通过它学生能够看见“无穷小的变化情况，如同“身临其境”。作者巧妙地把无穷小“嵌入”到学生的脑袋之中，使得他们习惯于用无穷小思考问题，处理问题。如果有人对他们说，“无穷小”是虚构，他们肯定对他“翻白眼”。且听下回分解。（全文完）