勒贝格积分的本质特征

给定非负实值数函数y = f（x），由此产生一个新的“点集”：

A（t）= { x | f（x）> t }   t > 0

上述新“点集”必定存在于函数f的定义域之内，当然，有可能是空集合。

假定有一种方法能够“度量”集合A（t）的“测度”，记为：

μA（t）

那么，取函数值y的增量Δy，t随之变化，求数值“和”：

S  = ∑ Δy μA（t）  t > 0

在这个数值“和”表达式中的被加项

Δy μA（t）  t > 0

的意思是很明确的，是一个高度为Δy，“宽度”（测度）为μA（t）的散乱分布的扁形“大蛋糕”的面积。

                 数值和

S  = ∑ Δy μA（t）  t > 0

求极限之后，就是所谓的勒贝格积分了。

但是，在表达式

    Δy μA（t）  t > 0

中，如果函数y = f（x）有“反常点”存在，比如，取值无穷大等，假定所有“反常点”的集合的勒贝格测度为零，那么，表达式

    Δy μA（t）  t > 0

   的数值不会受到丝毫的影响，也不会影响到勒贝格的积分值。也就会説，勒贝格积分会“过滤”被积分函数的“反常点”，远比黎曼积分优越。这就是勒贝格积分的本质特征。

说明：黎曼可积必定勒贝格可积，而且积分值相等，反之未必。

袁萌  3月16日