无穷小微积分的转移公理

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大家知道，无穷小微积分是公理化构成的，其中有一条重要公理叫“转移公理”（Transfer Axiom）。什么是转移公理？有什么重要性？

2013年3月3日，老翁发表短文，可以一阅如下：

袁萌  12月1日

关于无穷小微积分的转移（Transfer）公理(发表于：2013年3月3日)

为严格地定义导数与微分，我们把无穷小（一种超实数）引进微积分就算万事大吉了？非也。为什么？

我们提出一个问题：在引入超实数*R之后，微积分学变成了什么样子？也就是说，传统微积分学的原有概念与定理是不是还适用（或成立）？我们能否做到这样一件事情：一个传统微积分定理，当实数系R扩充到超实数*R之后，仍然能够成立？甚至更准确地说，该定理在R中成立的充分必要条件是其在*R中也成立？如果我们能够做到这一点，那么，这种做法有什么好处（或意义）呢？归根到底一句话：超实数*R有没有必要引入到微积分呢？

在R扩充到*R之后，我们假定整个微积分学的理论体系不变。那么，我们要问：同一个微积分学定理，在超实数系*R里面的证明是不是要比在传统实数系R里面的证明更为简单易懂？或者，在直观上更有诱惑力？更容易被人们所接受？实际上，在没有完全展开无穷小微积分之前，谁也无权对此妄加评论。

在《基础微积分》电子版到第一章第1.5节第28页，为达此目的，J. Keisler引进两条模型论（Model Theory）公理（Axioms）：一是延伸公理（Extension Axiom，简记为EA），二是转移公理（Transfer Axiom，简记为TA）。EA是说，任何实函数f都存在一个相应的超实函数*f与其对应，*f叫做函数f的“自然延伸”(Natural Extension)；而TA是说，任何陈述句（Statement）在R中成立，那么，该陈述句在*R中也必定成立。为准确理解转移公理（TA），我们要问，什么是陈述句？这是问题的关键。

在传统微积分学中，大家熟悉解析表达式的概念。一般而言，将两个表达式用等号或不等号连接起来就成为一个陈述句，例如：x+y=y+x，xy=yx，Sin(x) < x(当x>0)，等等。由此，我们不难想象，传统微积分学的”理论“是怎样转移到超实数系*R上了。但是，我们要注意的是，在*R中，陈述句中的各个运算符都需要在其左上角加上一个星号”*“，各个函数的左上角也要加上一个星号”*“，意义发生了相应的变化。我们约定，在转移到超实数系*R之后，有意省去所有的”星号“，希望不会发生”误会“，做到”心中有数“不转向。

微积分学的一个基本问题就是求函数f的变化率（平均值），也就是比值：∆y/∆x，这里f(x) = y。在R中，我们只能说，当∆x无限趋近于零（但不等于零）时，变化率∆y/∆x的极限（limit）。但是，什么叫”无限趋近于零“，就很难说得清楚，比较费解了。如果我们转移到*R中，让∆x变为无穷小（但是不等于零），事情就好说了。也就是说，当x无限趋近于某个实数a时，存在一个瞬间的阶段，在这个瞬间，差值∆x是无穷小，这比较符合我们的直觉（也符合哥西的导数定义）。这两个无穷小的比值所无限接近的那个实数就是函数f在这里的瞬间”变化率“（所谓“导出数”）。无穷小就是那种”足够的小以至于可以略去不计“的超实数。不过，这种说法只有在超实数系*R架构中才有意义。实际上，微积分学有两套，一套是传统的微积分，一套是无穷小微积分，两者”形影不离“，只不过后者更加符合我们的直觉与思维习惯而已。

（全文完）