引入无穷小微积分的合理性

我们设想，在实数集合R上，、定义了算术四则运算：+、－、×、÷，以及实数的大小顺序关系：≤。

给定形式表达式：2+6,11+4，3×2,…，等等，等等（尽量多地设想）。我们规定，两个形式表达式用顺序关系“≤”连接起来，比如：2+1≤1。

那么，这类形式表达式“2+1 ≤ 1”

称为形式命题，记为 [2+1 ≤ 1]。

    我们要问：形式命题[2+1 ≤ 1]是不是真的（真命题）？模型论奠基人塔尔斯基给出严格定义：命题[P]是真命题，其充分必要条件是，形式表达式P成立（即有限步可证明）。比如，命题[雪是白的]为真命题，其充要条件是，表达式“雪是白的”成立。

容易想象，引入量词、逻辑连接词符号（∧、∨）之后，整个微积分可用形式命题集合∑表达出来。。

我们注意到，在∑中含有形式命题串：0<</span>ε< 1/n，n = 1、2、3、…

由此，我们不难验证，在∑中，任何有限子集均可被满足（有模型）。根据紧致性定理，∑整体也必定被满足（即有模型）。也就是说，从数理逻辑角度来看，存在一类新型“理想数”ε（无穷小），大于零而小于任何正实数，满足形式命题集合∑（即微积分理论本身）。这就是引入无穷小微积分的合理性。

    说明：紧致性定理也叫哥德尔引理（证明在此省略）。

袁萌   11月19日