非标准分析的基础知识

                  今年9月19日，无穷小放飞互联网行动开始启动，“火星人家园”网站正式开通。这一放飞行动的理论依据是什么？是不是蛮干？非也。

非标准分析（NSA）是美国数理逻辑学家A.鲁宾逊于1960年创立。鲁宾逊证明，实数结构R可扩张为包含无穷小数和无穷大数的结构*R，在一定意义下*R与R有相同的性质。称*R中的数为超实数（Hyperreals），形象地说，是在普通实数中又加进了无穷小数（其绝对值小于任何正实数）及无穷大数（其绝对值大于任何正实数）。当两个超实数α与β相差为无穷小时，就称α无限接近于β，记为α ≈ β ，这是一个等价关系。每个关于这个等价关系的等价类包含唯一的标准实数a。称a所在的等价类μ（a）为一个单子（Monad），单子不是*R中的数，而相当于R中的数，超实数可以进行算术四则运算，满足通常的运算规律，也可以有大小顺序关系。由此标准分析里的许多概念、定理等可以自然地扩张到非标准分析中。如区间〔a，b〕扩张为*〔a，b〕，R中的函数扩张为*f（x），函数f（x）在标准点x0连续可定义为x≈x0时，f（x）≈ * f（x0）；函数f（x）在〔a，b〕上一致连续可定义为当x′ ≈ x″，x′，x″∈*〔a，b〕时*f（x′）≈ f（x″）。像这样在R上展开的数学分析理论称为非标准分析，通常的数学分析则称为标准分析。

                      非标准分析使无穷小获得新生（对此，微积分守旧派很生气）。在微积分发明的初期，I.牛顿，特别是G.W.莱布尼兹使用无穷小方法，在一阶和高阶无穷小基础上，发展起微积分理论。因它不严格而倍遭非难。A.L.柯西和K.魏尔斯特拉斯等使微积分奠基于极限理论上，数学分析由此臻于严密但失去了无穷小算法的简明与直观。鲁宾逊用数理逻辑方法严谨地论证了无穷小的存在性，重新用它来刻画微积分。这不仅能表现状态，还能表明过程，直观而简洁。非标准分析一经问世便得到迅速发展，并用它解决了许多问题。从方法论上来说，还能将过去一些深刻结果的证明加以简化。

近年来，非标准分析发展很快，已有群论、非标准拓扑、非标准泛函分析等。它有不少应用。凡是对某类数学对象，用类似于上述的扩张来研究的都可称为非标准分析分支学科。

这就是非标准分析的基础知识。

袁萌   9月22日