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实无穷小微积分的优势何在？是在忽悠人吗？非也。

5年前，我在短文“无穷小微积分的优势究竟在哪里？”（2012年12月27日发表）中谈及这个问题。该文重新发表如下：（一字不改）

袁萌   9月10日

J. Keisler在《无穷小微积分基础》教学参考书第15章”逻辑与超结构“的第1A节（第180页）给出无穷小微积分的核心特征，如下：

“For example, the ε, δ condition for f to be continuous at x,

∀ε[ε > 0 ⇒ ∃δ(δ > 0 ∧ ∀y[|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε)]],

is equivalent to the simpler *L formula

∀y[y ≈ x ⇒ *f(y) ≈ *f(x)] ”

意思是说，函数f在x处的连续性的上述使用传统ε, δ语言L的表达式等价于（if and only if）下面的无穷小表述语言*L公式的更为简介的表达方式，其中*f是函数f的在语言*L中的自然延伸函数。符号”≈“是在语言*L中是”无限接近于“的意思。注：符号”∀“代表“for All”，符号”∃“代表”There Exists“。

什么是（一阶）逻辑语言？什么是超级结构？这就是数理逻辑”模型论“研究的课题了。由此，我们可以看出，在传统微积分中，人们使用了许多无穷小微积分的”说法“（句子）而不自知也，比如：“无限接近于”，”任意地小“，等等，整天周旋于限量词（quantifier）”∀、∃“来回颠倒的把戏，把学生搞得概念混乱、兴趣全无。

什么是（一阶）逻辑语言？什么是超级结构？这就是数理逻辑”模型论“研究的课题了。由此，我们可以看出，在传统微积分中，人们使用了许多无穷小微积分的”说法“（句子）而不自知也，比如：“无限接近于”，”任意地小“，等等，整天周旋于限量词（quantifier）”∀、∃“来回颠倒的把戏，把学生搞得概念混乱、兴趣全无。

实质上，无穷小微积分的最大优势在于：理论展开的始终，减少了限量词的交替现象，使得微积分理论体系得以极大的简化，易学易用。这就是2006年J. Keisler论文”Quantifier in Limits“（“极限中的限量词”）里面的主要结论。

近十年来，高等无穷小分析的理论与应用进展很大，我们不想过多牵扯其中，以免转移学生的注意力。我们只做一件事情：普及无穷小微积分的基础知识，努力改进与完善普通高校的微积分教学的效果，把握住这个大方向丝毫不动摇。每年有上百万的学子在苦读微积分（高等数学），这个事实要牢记在我们的心中。

说明：请参见《高等数学》第61页关于函数连续性的定义：函数f(x)在点x连续等价于：∀ε>0，∃δ>0，当|x−y|<</span>δ时，有|f(x)−f(y)|<</span>ε，

将此表达式与J. Keisler的上述表达式：

∀ε[ε > 0 ⇒ ∃δ(δ > 0 ∧ ∀y[|x − y| < δ ⇒ |f (x) − f (y)| < ε)]],

相互对照，就可以看出，《高等数学》教材里面的限量词∀、∃、∀的作用域表达得不够清楚，容易引起同学们的误解，产生思维疲劳。一本全国通用国家级规划教材存在如此（多处的）疏漏是很不应该的。

注意，J. Keisler表达式里面有两层相互对应的方括号”[“，我们要注意它们前后”括“在哪里。逻辑连接符号”∧“代表”And“的意思。

袁萌   2012年12月27日