传统微积分的一些糊涂定义

    从国内现行高等数学教材中，收集到一些有关函数的糊涂定义，现列举如下：（为什么说是糊涂定义，本文在后面有所分析、评论）

16 0 举报 糊涂定义1：函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。

糊涂定义2：

函数就是“它变量”，即它的变化要靠另一个数的变化而变化，一般用Y或f(x)来表示。而那个x则是自变量，就是说在实际做题时，可以用任意数字来代替它。

在编程时，函数是有特定功能的小程序。在很多高级语言中，都有给定的函数，也可自己编写一些函数。

糊涂定义3：函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。

糊涂定义函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function"一词。翻译成汉语的意思就是“函数。不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。

直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来。

19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量的函数。黎曼定义的最大特点在于它突出了就是之间的依赖、变化的关系，反映了函数概念的本质属性。

函数是程序中用来实现特定功能的语句块，相当于一段子程序，开发人员可以在同一程序的多个地方，甚至程序的外部，遵守一定的参数约定调用它完成特定的任务，函数在返回到调用的地方时会返回一个值。函数的运用有助于程序代码的重用和整个程序的结构化。

对函数的支持几乎是每一种高级语言必不可少的。不同的语言对函数的声明及定义等语法规则各不相同，但都差不多，大同小异。

4：函数是数与数之间的关系！

糊涂定义5：函数的传统定义：设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称y是x的函数，x叫做自变量。同时，将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

糊涂5、函数的近代定义：设A，B都是非空的数的集合，f：x→y是从A到B的一个对应法则，那么从A到B的映射f：A→B就叫做函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合A叫做函数f(x)的定义域，象集合C叫做函数f(x)的值域。

糊涂定义6：姑苏寒士2006-02-21

OK!

函数的定义是：给定两个集合D和M，若一个对应法则f，使D内每一个数x，都有M中唯一一个数y与它相对应，称f是定义在数集D上的函数。

评论：这些有关函数的糊涂定义基础上，展开的是糊涂微积分。国家现代化建设依靠这批“小糊涂人”能行吗？

说明：自上世纪50年代之后，函数的严格定义都采用有序偶（Ordered pair）的集合来定义，废止使用其他糊涂定义。什么叫“一一对应”？什么叫“映射”？什么叫“依赖于”？等等。稀里糊涂，谁也说不清楚。

袁萌   2月8日