无穷小微积分的现代化体系是怎样展开的？

    2013年6月22日，我写了一篇科普博文，谈的问题是：无穷小微积分的现代化体系是怎样展开的？老实说，这篇科普文章不好写，国内似乎也无人敢写。可惜的是，CSDN将其删除，至今逍遥法外。

    老翁今日重新发表如下，供大家阅读。

进入现代历史时期，无穷小微积分是在超实数*R上展开的，传统实数体系R上的微积分将逐渐退居幕后。这是为什么呢？

      在传统实数R上的微积分学表现为一组陈述句（Statements）的集合。一般而言，将两个含有函数符号的表达式用等式或不等式连结起来就构成了一个陈述句。我们的目标是把R上的陈述句转移（Tranfer）到超实数*R上，使其保留原来的意义（真或假，以及没有含义），然后，在*R系统里面借助无穷小方法给予简易、直观的数学证明，从而等价于（转个”弯儿“）间接证明了R上的原始命题。

      这个“转弯”展开现代微积分体系的思路是很明白的，可以经过实际对比看出优劣。1973年，美国芝加哥地区进行无穷小微积分教学实验完全证明了这一点。我国是一个大国，每年有上千万的学生需要学习微积分，教学方法的优劣是很关重要的事情。

J. Keisler在《Elementary Calculus》教材中，引入以下“转移原则”：

           TRANSFER PRINCIPLE

         Every real statement that holds for one or more particular real functions holds for the hyperreal natural extensions of these functions.

       这个“转移原则”说的就是本文上面说的意思。那么，我们要问：是不是有可能在超实数系里面首先利用无穷小方法证明了一条定理，而在传统实数系里面却没有证明这条定理？毫无疑问，这当然是可能的。为什么不能呢？这有什么值得怀疑的？

      无穷小方法与（ε，δ）极限论是怎样等价的？J. Keisler 在教学辅导书中说得明明白白，文员薛Lily将其转录之后，我们会在第一时间告诉大家。围绕无穷小方法的那一团疑云就会随风飘去。一个文员所做的事情，就是白纸黑字，铁板钉钉，你不服气不行。

         莱布尼兹（1646-1716）在29岁时发明了“无穷小”理想数，至今受到人们的喜爱。按照现代模型论的解释，无穷小就是比实数更加接近于零的超实数，需要用思维逻辑“显微镜”才能观察到它们的存在。在数字零与非零实数之间，还有空隙？当然有，而且在这个间隙中存在无限多的超实数。说白了，实数系的漏洞很多很多。1948年，28岁的Edwin Hewitt发现这些漏洞，让人们大吃一惊。有人喜欢说无穷小的坏话，但是，没有人说它在数学理论上是不正确的。我要是有个女儿，一定让她学习无穷小方法，聪明伶俐，做事非常细心。

袁萌  元月16日