大家知道，进入大厦必须首先跨入大厦的门厅，别无他途。空集Ø是数学大厦的看门人。任何进入数学大厦的人必须与空集“打招呼”。空集Ø里面没有任何元素，所以，空集Ø也可表示为{ }(集合的数学符号)，里面什么元素也没有。

    在现代数学中，数字0一般定义为空集Ø。虽然空集{ }本身不是数字0。由此，数字1定义为{Ø}，数字2定义为{Ø，{Ø}}，......我们注意：集合的包含关系Ø ⊆ {Ø}表示自然数的顺序关系0 < 1，.......

    康托尔认为，所有的自然数仍然构成一个集合N，对此，哲学家维根斯坦坚决反对，认为集合N没有任何数学意义。但是，后来人接受了康托尔的思想，接受了N也是一个确定的集合，并且由此集合N完美地定义出有理数系Q。

    康托尔考虑有理数序列{rn},n=1,2,3,......他认为，一个“柯西收敛”的有理数列{rn}对应到一个实数a，从此，建立起实数系R。如果把“柯西收敛”的序列利用所谓“超滤器”再加以细分下去，就得到所谓的“超实数”*R了。这种数系“细分”的观念是由袁萌本人在上世纪七十年代首先提出的。

     有了两套实数系，但是我们只有一套微积分。在现代数学大厦里面，任何数学分支都离不开微积分（的成果）。微积分“文盲”就是现代数学文盲！

     说明：什么是“柯西收敛”，什么是法国布尔巴基学派的“超滤器”（Filter），这都是技术细节问题，不妨碍“科普”理解。

    袁萌 6月17日