世界知名数理逻辑学家J. Keisler教授在《基础微积分》电子版教材的“第1.2节实函数”中给出一元实函数的定义如下：

DEFINITION

A real function of one variable is a set f of ordered pairs of real numbers such that for every real number a one of the following two things happens:

(i)There is exactly one real number b for which the ordered pair(a,b) is a member of f.

In this case we say that f (a) is defined and we write f(a) = b. The number b is called the value of f at a.

(ii)There is no real number b for which the ordered pair (a, b) is a member of f. In this case we say that f(a) is undefined.

Thus f(a) = b means that the ordered pair(a,b) is an element off.

我们需要注意的是，在函数的定义中，对于每一个实数a均可提问f(a)是否有意义，而无需事先规定”函数的定义域“，实际上，函数定义域只是一个派生（或由此导出）的概念。表达式f(a) = b的意义是”the ordered pair(a,b) is an element off“，意思是：有序偶（a，b)属于函数f，是集合f的一个元素，如此而已，没有别的意思。

大家知道，微积分学的主要研究对象就是函数及其变化。9月1日，数百万大学新生即将苦读微积分，如果满脑袋都是一些糊涂概念，上大学还有什么意义呢？

上述函数定义是J. keisler自己的发明创造的吗？非也。这是上世纪三十年代法国布尔巴基学派关于函数的集合定义。我是一个“跟屁虫”，书呆子，在数学上没有一点自己的”独创性“，但是，跟定什么人却是一点也不糊涂。近60年的数学生涯使我明白了这个道理。数学（主体就是微积分）是一门大学问。我把J. Keisler的《基础微积分》教材原汁原味地介绍给国内广大读者就是我的“数学梦”。圆这个”梦“似乎很简单，但是，却用去了我人生的”一大半“光阴。不管什么人，是”好人“，还是”坏人“，只要帮助我实现这个”数学梦“，我都真心地感谢他（她）。