函数是什么？国内权威网站，比如，维基百科与百度百科，给出的答案完全一样，把广大学生死死地局限在或引导向一条陈旧不堪、含糊不清的思维路线。他们的所谓官方定义是：

一、传统定义
　　在某一变化过程中有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则y与x有函数关系。一般用y=f(x)表示。其中x叫做自变量，y叫做因变量^[1]

二、经典定义

在某个坐标变化过程中，如果有两个变量x和y，对每一个给定的x值，y都有唯一确定的值与它对应，确定y=x的函数。x=自变量，y作为x的因变量。

另外，若对于每一个给定的y值,都有X与其对应。

三、现代定义

一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。

记作：x→y=f(x),x∈A.集合A叫做函数的定义域，记为D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域，记为C。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合

四、用映射的定义

一般地，给定非空数集A,B，从集合A到集合B的一个映射，叫做从集合A到集合B的一个函数。

向量函数:自变量是向量的函数 叫向量函数 f（a1.a2，a3......an）=y

对应、映射、函数三者的重要关系：

函数是数集上的映射，映射是特指的对应。即：{函数}包含于{映射}包含于{对应}

            总之，在这些迂腐定义中，函数与“对应”有关，但是，“对应”又是什么呢？似乎就更加说不清了。我国普通高校“十一五”国家级规划教材同济大学《高等数学》、复旦大学《数学分析》所给出的函数定义与上述陈腐说教没有两样，如出一辙。

            7月21日，J. Keisler《基础微积分》的“第1.2节实函数”已经上传互联网，让人耳目一新。俗话说：不怕不识货，就怕货比货。请大家搜索“第1.2节实函数”关键词，看一看就明白了。