进入九月份以后，新学年就要开始了，广大同学就要开始学习“高等数学”。我们要把已经成熟的知识写进教材，胡思乱想的东西不能编入课本。

   《符号逻辑》学术季刊（J. Symbolic Logic），创始于1936年，是当今该领域的“The leading research journal”(领导研究刊物)，发表高质量、得到公认的学术研究成果。在1991年9月（Volume 56,Number 3），J. Keisler发表研究论文，题为”The Hyerreal Line both saturated and complete“（既饱满又完全的超实线），从此，超实线（Hyperreal line）进入了人们的视线，不再是“一家之言”。

超实线如下图所示：

 /                     -1     0     1     2                                     \ 

  / ........... __________|___|___|___|_________ ..........\


  \  negative                                  finite          positive   /

  \ infinite                                                                      infinite  /                                                     

    从上图可见，在超实线的两个”远端“存在无限大的超实数。超实线是”an extension（延伸） of the real line. It contains all real numbers, and some infinite and infinitesimal numbers“，这是超实线的官方定义。我们说：”an element of the hyperreal line x is finite iff |x| < n for some integer n. x is infinite iff it is not finite. x is infinitesimal iff |x| < 1/n for all integers n. (Note that 0 is trivially infinitesimal)“。在此，什么是有限数、无穷大与无穷小交代的一清二楚。
    超实线的本质特征是，它含有”an infinite number H, and an infinitesimal 1/H = d“，注意：此处的小写字母”d“，就是莱布尼兹当年定义的无穷小”微分“，而无穷大数H就是公元前阿基米德最早定义的一个数学概念。这两者都不是什么新鲜概念。
    请看下图：（设想借助一个”显微镜“观察）

           1-2d       1-d    1    1+d        1+2d      1+3d  
    ____________|______|______|______|______|______|______________

    由上图我们可以发现一个有趣的现象：一个“动点”从左方无限接近于点”1“，然后，它又慢慢离去的景象。容易证明：在无穷小区间（1-2d,1+2d)里面没有任何实数存在（除了数字”1“）。这就是说，这个”动点“在无限接近点”1“的“瞬间过程“中，有一个无穷小的“时间段“，此时，该”动点“既在点”1“（在通常意义上），又不在点“1”（在超实线意义上）。十七世纪伟大法国数学家哥西（Cauchy）所坚持主张的导数定义就是这样的。

请看下图：（设想借助一个”望远镜“观察）

            H-2         H-1        H        H+1    H+2        H+3
    _____________|______|______|______|______|______|______________
    

      由上图可知：在无穷大数H的左右两旁都有无穷大数存在，其间没有任何实数。总之，超实线的模样儿显得”怪怪的“，有点儿”不可思议“。
    在新学期里面，我们要向国内广大学生（包括老师）推荐的”连续统“（超实线）就是这样的。但是，如果接受了这种”观念“，那么，整个微积分学就要改写，使其变得简单、直观，而且又有趣味性。何乐而不为？