学习数学的目的是什么？是提高单纯的解题技巧吗？非也。培养抽象思维的能力是数学教育的第一要务。为什么？

         数是什么？人类对数的认识和探究已经经历了数千年。不了解加、减、乘、除，就难于融入现代社会。但是，在加、减、乘、除的背后究竟隐藏着什么东西？这不是一般人所能了解的。进入上世纪，有人给出了这个问题的答案。1910年，一位德籍犹太人Ernst Steinitz发表一篇影响深远的学术论文“域的代数理论”（Algeraic Theory of Fields），给出了抽象结构“域”（Field）的公理化描述，彻底弄清了隐藏在加、减、乘、除运算背后的“秘密”。

       域F是一种支撑加、减、乘、除运算的抽象结构（集合），满足以下公理：

      假定a, b, c ∈ F，（注：符号“+”代表加运算，符号“ ”代表乘运） ·

     A1. 加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c).

    A2. 存在加法单位元：0.   

    A3. 加法交换律：a + b = b + a.

    A4. 存在加法逆元： −a.

    M1. 乘法结合律：(a · b) · c = a · (b · c).

    M2. 存在乘法单位元： 1.

    M3. 乘法交换律：a · b = b · a.

    M4. 存在乘法逆元： a−1 （“-1”应该在字母a的右上方，如果 a ≠ 0）.

    D. 分配律成立： a · (b + c) = ab + ac.

        在数学家的眼中，“域”F是很美丽的。他们认为，简单就是“美”。由此可见，有理数集合，实数集合都是“域”，而且是“无限域”。但是，实数域R是一种很特殊的域，在R中，单调递增序列只有两种情况：无界与有界。如果域F存在无界的单调递增序列，就叫做阿基米德域。如果域F里面的任何有界单调递增序列必有极限，测称为“完备域“。所以，实数域是完备的阿基米德域。很明显，阿基米德域里面不可能存在无穷小与无穷大。由此可见，超实数域*R不是阿基米德域，也不是完备域。因为，一般而言，有界单调递增的无穷小序列就没有“极限”（除非说它是“零”）可言。

         数学公理化给数学发展带来无限美好的前景。将来，当我们遇到外星人的时候，可以预见的是，我们与他们交流（沟通）微积分学知识是完全有可能的。因为，只要他们懂得加、减、乘、除就必然懂得抽象结构”域“，上面也必有”微积分“演算。我们要注意他们的文明发展到什么程度，使用不使用无穷小与无穷大（模型论知识）。细观复旦大学《数学分析》国家级规划教材，作者把实数系R的各种性质说了一个遍，就是不说完备阿基米德域。原因无非是他们不愿意搞“数学公理化”。数学公理化就那么可怕吗？非也。现在已经是二十一世纪，大梦也该醒醒了。今年我国有160多万考研学子，给他们灌输一点公理化知识，天不会塌下来。