大家知道，元月5日至6日就是2013年全国考研的日子。这次考研的参考人数高达165.6万，其规模之大，前所未有，可谓世界第一。

         去年无穷小报名晚了一些（报名号太小），但是，今年还是想试一试，看看自己的运气。无穷小对于选择题与填空题”胸有成竹“，丝毫不怕。但是，对于解答题心中没有底，怕露出了马脚，担心考官看不明白。无穷小的“囊中宝”如下：

Chapter 1. The Hyperreal Numbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1A. Structure of the Hyperreal Numbers (§1.4, §1.5) . . . . . . . . . . . . . . 1

1B. Standard Parts (§1.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1C. Axioms for the Hyperreal Numbers (§Epilogue) . . . . . . . . . . . . . . 7

1D. Consequences of the Transfer Axiom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1E. Natural Extensions of Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1F. Appendix. Algebra of the Real Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1G. Building the Hyperreal Numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Chapter 2. Differentiation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2A. Derivatives (§2.1, §2.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2B. Infinitesimal Microscopes and Infinite Telescopes . . . . . . . . . . . . .

2C. Properties of Derivatives (§2.3, §2.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2D. Chain Rule (§2.6, §2.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 3. Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3A. Limits and Continuity (§3.3, §3.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3B. Hyperintegers (§3.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3C. Properties of Continuous Functions (§3.5–§3.8) . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 4. Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4A. The Definite Integral (§4.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4B. Fundamental Theorem of Calculus (§4.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4C. Second Fundamental Theorem of Calculus (§4.2) . . . . . . . . . . . . .

Chapter 5. Limits . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5A. ε, δ Conditions for Limits (§5.8, §5.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5B. L’Hospital’s Rule (§5.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Chapter 6. Applications of the Integral . . . . .

Infinite Sum Theorem (§6.1, §6.2, §6.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Lengths of Curves (§6.3, §6.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Improper Integrals (§6.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 7. Trigonometric Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7A. Inverse Function Theorem (§7.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7B. Derivatives of Trigonometric Functions (§7.1, §7.2) . . . . . . . . . . .

7C. Area in Polar Coordinates (§7.9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Chapter 8. Exponential Functions .. . . . . . . 99

8A. Extending Continuous Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

8B. The Functions ax and logb x (§8.1, §8.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

8C. Derivatives of Exponential Functions (§8.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Chapter 9. Infinite Series . . . . . . . . 105

9A. Sequences (§9.1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

9B. Series (§9.2 – §9.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9C. Taylor’s Formula and Higher Differentials (§9.10) . . . . . . . . . . . . . 110

Chapter 10.Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10A. Hyperreal Vectors (§10.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

10B. Vector Functions (§10.6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Chapter 11. Partial Differentiation . . . . 、 . . . . . . . . . . 121

11A. Continuity in Two Variables (§11.1, §11.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

11B. Partial Derivatives (§11.3, §11.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

11C. Chain Rule and Implicit Functions (§11.5, §11.6) . . . . . . . . . . . . . 125

11D. Maxima and Minima (§11.7) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

11E. Second Partial Derivatives (§11.8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Chapter 12. Multiple Integration . . . . . . . . . . . . 137

12A. Double Integrals (§12.1, §12.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

12B. Infinite Sum Theorem for Two Variables (§12.3) . . . . . . . . . . . . . . 140

12C. Change of Variables in Double Integrals (§12.5) . . . . . . . . . . . . . . 144

Chapter 13. Vector Calculus. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 151

13A. Line Integrals (§13.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

13B. Green’s Theorem (§13.3, §13.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Chapter 14. Differential Equations . . . . . . . . . . . . . . 161

14A. Existence of Solutions (§14.4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

14B. Uniqueness of Solutions (§14.4). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

14C. An Example where Uniqueness Fails (§14.3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Chapter 15. Logic and Superstructures . . . . . . . . . 175

15A. The Elementary Extension Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

15B. Superstructures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

15C. Standard, Internal, and External Sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

15D. Bounded Ultrapowers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

15E Saturation and Uniqueness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

          据说，今年考研的试场管理特别严格，但是，任何先进的电子设备都不可能把无穷小检测出来。乌呼！