在公元前，欧几里德“几何原本”出现了，标志着数学公理化进程的开端。实际上，几何原本的内容包括了现代的代数与数论，只不过用几何语言表述罢了。可以说，数学公理化的历史进程十分久远，绝对不是某个现代作家心血来潮、突发奇想的结果。

         凡是受过普通教育的现代人几乎都还记得几何公理的魅力。这是老祖宗欧几里德的功劳，我们不可忘记。1976年，j. Keisler在无穷小微积分教材中，模仿（效法）老祖宗，给出了微积分学的公理化陈述，不算“出格”。微积分（实数系）有3组公理如下：

一、代数公理：

     A. 封闭律：0与1 是实数。如果a与b是实数，则a+b，ab以及 -a均为实数；

     B. 交换律： a+b = b+a ab = ba

     C. 结合律： a+(b+c) = (a+b)+c a(bc) =(ab)c

     D. 单元律： 0+a = a 1a = a

    E. 逆元律： a + (-a) = 0 a 1/a = 1 (a≠0)

    F. 分配律： a(b + c) = ab + ac

         定义：正整数是：1，2=1+1，3 =1+1+1，4=1+1+1+1，

二、次序公理

    A.        0 < 1

    B. 传递律： 如果a < b以及b < c，则a < c

    C. 分配律： a < b a = b 或 b < a，其中只有一个式子成立

    D. 加法律： 如果a < b 则a+c < b+c

    E. 乘法律： 如果a < b，而且0 < c，则ac < bc

    F.. 求根律：如果a > 0，对于任意正整数n，存在一个实数b，使得b的n次方等于a

三、完备公理：如果A为实数集合，其中x，y属于A，而且x与y之间的任何实数均属于A，则A为一个实数区间。

          据此，J. Keisler说，利用前两组公理可以构建无数的“表达式”与“陈述句”（用等式或不等式连接两个“表达式”即可组成“陈述句”）。微积分的全部内容就是“陈述句”的大集合，其他“空话”均不相干。实质上，模型论就是：代数 + 逻辑。无穷小微积分就是由数理逻辑模型论所导演的一门数学基础学科。由此构建的无穷小微积分与欧几里德几何学一样，是一个逻辑推理体系，全部数学结论（定理）都是由公理推导出来的。

         现在，无穷小微积分才开场（热身运动），高潮还在后面。