如何引入无穷小ε，把实数系R扩展到超实数系*R？ *R与R有什么关系？仅靠胡诌、说空话是会”误人子弟“的。无穷小能否经受住公理化的考研？

         J. Keisler是数理逻辑模型论学者，当然不忘求助于公理化方法。对我们来说，模型论公理显得有些诡异，有点摸不着头脑。仔细体会一下，别具风味。下面是”延伸公理“（Extension Axiom），我们多用符号表示，节省文字。

       *I、延伸公理：

         A. 存在*R，使得R ⊂*R

        B. 在*R上存在新的次序关系*<</font>，使得 < ⊂*< （注：符号⊂是集合的包含关系）

        C. 在*R中存在一个超实数ε，是的0 *< ε，而且ε *< r (r为正实数)

        D. 对R上定义的函数f，存在一种定义在*R上的自然延伸*f

        初看起来，一头雾水，不知所云。再引入与其相配”转移公理“（Transfer Axiom）即可明白了。

        *II、转移公理

           任何在R上真的”Real Statement“，对*R亦真。

          有人对上述”转移公理“，更是”莫名其妙“，甚至感到好笑。”Real Statement“是模型论的重要术语，现在我们只需”望文生义“就行了。至此，我们陷入一种”尴尬境地“，怎么也说不清楚，似乎没有救了。那么，我们该怎么办呢？J. Keisler是不是欺骗了我们？非也。

        首先，从延伸公理第C条款，我们知道不等式：

                                                              0 *< ε *< r

是对所有的正实数r而言的(不是正的超实数)，而且是对新的*R上次序关系*<</font>成立的不等式，在原有的次序关系<</font>下，也就是在原有的实数系R里面，这是不能成立的。因而，这就避免了在表面上看起来有关无穷小的“逻辑矛盾”。人们对无穷小的恐惧消失了。

         现在，对我们而言，在超实数*R的上空”一片空白”，空空如也。转移公理告诉我们，在实数系R上成立的“实陈述”（Real Statement），在超实数系*R上也必然成立，似乎把R上的“知识”全部转移过来了。不过，这写知识必须是一阶逻辑能够表述的“知识”，莫言的魔幻故事不行。

         在微积分里面引入无穷小的好处是不言而喻的，好处多多。比如，什么叫“无限地接近”，什么叫“任意的小”，什么”以L为极限“，......，对学生都有了明确的“交代”。至此，三百年来困扰数学家的“无穷小数”难题被数理逻辑模型论解决了。当然，对于什么是“Real Statement”，J. Keisler在电子书“无穷小微积分”的”后记“里面有着详细的交代，但是，现在对我们而言，有点儿”玄“，所以，我暂时就不多去说了。模型论不是儿童故事，一看就明白。

          说明：一旦我们进入了超实数*R领域，这些”*“号往往就省去了。但是，我们心中始终要分清”Real Statement“与”Hyperreal Statement“的区别。