在实数系R平台上，有许多”理论”，里面有许多“说法”，在形式上，表现为抽象的一阶逻辑“句子”（Sentences）集合（简称“句集”）。实数系R上的这种“句集”记为∑ 。我们把括号（R，∑）称作是一种数学结构的“模型”（Model)，确切地说，∑是实数R上的“理论“ 。

          句集∑ 有各式各样的模式，一般非常复杂，是不是能够”自圆其说“都是问题。一般而言，如果先给定一个“句集”∑，它是否能够算是某个数学结构上的描述“体系“（或“理论”）？这确实是一个大问题。句子集合∑ 里面只有几个一阶逻辑句子，问题还好办，问题不算很复杂。但是，谁知道句集∑里面有究竟多少句子呢？数理逻辑的模型论分支就是专门研究这类问题的。

           模型论中的所谓“紧致性定理”（Compactness Theorem）是指：句子集合∑ 有模型的充分必要条件（if and only if）是∑的每一个有限子句集均有模型。（这就好办了，把无限的问题转化为有限问题处理），到此，问题就好办了。我们设想，∑就是传统微积分理论所构成的句集，我们先让其固定不变，再假定ε是一个新数字符号，在句集∑里面再追加一批新句子，例如：0 < ε < 1/n, 而n = 1,2,3,4,5，...... m是自然数，如此，构成了一个新的句集*∑。我们问：这个扩大了的*∑有没有模型？根据上述“紧致性定理”，*∑的每一个有限子集均有模型（想一想，为什么？），因而，*∑必有一个模型，比如说*R，而该模型*R里面含有无穷小”ε“数字符号。上述的那个“为什么”就是1960年美国A. Robinson研究工作的核心，在*R上搞无穷小微积分（实质上就是在*∑上）就是1976年J. Keisler的“成就”。（提示：对*∑的每一个有限子句集，适当选择ε的大小数值，即可使其满足要求，比如：0<ε<1/2，0<ε1/7，......等等。）

         由此可见，模型论的“紧致性定理”是无穷小微积分的理论依据。我们问，“紧致性定理”的证明难不难呢？利用所谓“超积”技术不难证明，但是，那是技术细节性的问题了，我们以后再说。把无穷小严格地请进现代微积分，建立现代微积分大厦，那就是J. Keisler的功劳。我连个无穷小微积分“小号手”的资格都不够，在旁边吹吹风就是了。

          当前，在我们国内建立一个专门的微积分教学网站是有现实意义的，有利于微积分的学术研究与教学改革。网站域名已经批准，目前正在审批过程之中，还有十来天即可“开通”。在此，顺便说一句，我不想超越J. Keisler教材一步，我只是想原汁原味地把无穷小微积分引进到我们国内。我不可能超越J. Keisler的认识高度，这是明摆着的事实。数学不是玄学，不能越搞越玄乎。但是，无穷小微积分教材与国内相关微积分教材存在一定的“差距”，可能“水土不服”。这是事先需要估计到的。该微积分教学（维基般的）网站是我们共同拥有的一块”园地“，不是我个人的“一言堂”。有人不喜欢无穷小微积分，尽管闭上眼睛，呆在原地不动就是了。该网站的开通是对传统微积分旧秩序的挑战。