从历史上来看，无理数与虚数的发现具有一样的命运，似乎是人的大脑分泌物。根据文学家莫言的说法，这大概就算是数学的魔幻现实主义吧！

       回顾历史，大约在17世纪，人们对负数的平方根还是很惧怕的，认为等式

                                                      i = √-1

十分怪诞，有损数学的严肃性，简直“不可思议”。在笛卡尔的著作中还认为虚数是“to be derogatory”(不体面的)。直到欧拉（1707-1783）与高斯（1777-1855）时代，虚数才被数学家们慢慢地接受（虽然心中还是感到有点儿别扭）。后来，Caspar Wessel(1745-1818)给出了虚数的几何解释，最终扩大了数系才算把虚数最后”搞定“，彻底撕去了虚数的神秘面纱。

          现今，虚数（曾经被数学家视为是一种”假想的数“）已经被广泛应用到各门自然科学中去，比如：信号处理、控制论、电磁理论、流体动力学、量子力学以及震动分析等学科。虚数不虚了。

           J. Keisler在无穷小微积分（网络电子版）教材中，大胆引入了一种满足怪异不等式

                                       -a < ε < +a            (a为任意正实数)

的”理想数“（包括数字”零“），扩大了实数系，其命运将如同虚数一样，需要经历上百年的时间才能被人们理解和接受。现在，距离该书出版时间才过去50年，时间还显得短了一些。历史证明，数学的发展总是缓慢的，一代又一代，......

          在此，我想事先”透露一点儿关于J. Keisler撰写的”无穷小微积分“教材的最后一章”微分方程“的主要内容：给定微分方程

                                                      y' = F(x,y)

函数F(x,y)在某个区域上有定义而且连续。我们问：这个方程有解吗？解的存在性与唯一性怎么证明？这个问题在传统微积分教材中是很麻烦的，证明异常繁杂罗嗦。但是，J. Keisler使用无穷小方法来证明，只需及行文字就交代明白了。妙哉！你说，这神不神？

          有人会问，无穷小微积分有什么用处呢？淡然有，但是，当前的问题是，首先要把无穷小方法搞个“明白”，然后再说无穷小有什么用法，不能一步登天。我希望具有高中文化水平就能够读懂我的短文，高级读者就更不在话下了。

          重要说明：明天是J. keisler的生日。此刻，我在想一个问题：我的读者是不是应该向他表示生日的祝贺？他的邮件地址是：keisler@math.wisc.edu。我想：他心中一定会对此感到十分惊奇：在中国境内为什么会有这么多的无穷小”粉丝“？