首先，我们考虑两个有理数的无限数列：

    （1） a(1)，a(2)，...，a(i)，......,记为:{a(i)}；

   (2) b(1)，b(2)，...，b(i)，......,记为:{b(i)}

   此处，i = 1，2，3，4，5，......，(i为自然数，即集合{i} = N)我们设想，这两个数列都是某种物理量的“度量”结果（度量过程的记录），指向相应的物理量，也叫“收敛于”某个实数。假定：

（3） ∀ε>0 ∃n>0 【 i > n ┃┃a(i) - b(i)┃ ≤ ε 】

     这时，我们可以证明这两个数列同时指向一个实际物理量（即实数。人们发现，条件”i > n“过于严格，能否再放宽一些？也就是说，不要求“处处””i > n”，而要求“几乎处处”条件“i > n”成立。什么叫“几乎处处”？所谓”几乎处处“：其实就是要求条件“i∈A”成立，而集合A是自然数集合的某类子集合，但是，集合A密集散布于自然数集合，几乎等同于自然数集合。布尔巴基学派首先定义了一种集合的集合{A}，满足一定条件，称其为“超滤器”（Ultrafilter）。于是，

     （4） { i ┃ a(i)= b(i)}= A (此处，A属于某个超滤器)

成立，由此，我们可以证明（4）式也可以构成一种更为细致、精确的有理数列“等价类”的分类标准。据此，人们称其为“超实数”*R（Hyperreals）。这是1948年数学家Hewitt的工作。由此可见，超实数系*R也是物理量的度量理论模型（称为“连续统”，Continium）。我们接受实数系，就必须接受超实数系，实质上，两者都是有理数列的等价类。

        在超实数系*R里面，我们可以举例证明存在所谓的”无穷小数“ε（是一种新型的”超实数“），也就是说，成立不等式

      （5）     0 < ε <1/n， ∀n ∈ N（自然数集合）。

         至此，我们有了无穷小（超实数），故事就好讲下去了。有了超实数系*R，我们怎么在其上建立起新型的微积分（Calculus）呢？超实数系*R的微积分有什么特点呢？首先，在*R里面，我们可以说：x无限地接近a，只要x与a相差为”无穷小“。在*R里面，我们可以自由地说，变数n”等于“无穷大（因为1/ε就是一个无穷大，只要ε不为零） 。

        实际上，超实数系*R与实数系R的关系十分密切，*R是R的扩张，在*R里面，我们就有话”好说“了。这是什么意思呢？什么叫有话”好说“？超实数系*R上面的微积分还能不能用于物理学？正弦Sin的导数还是不是余弦Cos？且听下回分解也。