说句大实话，大学微积分教学需要改革的呼声不算稀奇，但是，把教学的改革搞成一场”大运动“（Calculus Reform Movement），事情就算搞大了。

          1992年，布尔巴基学派撰写的一本数学史专著（Elements of the History of Mathematics），在全球范围内影响颇大。该书第17节（p167至p199）讲的是微积分（Calculus）的发展史，相对而言，篇幅算是最大的，内容相当详细。经过布尔巴基的考证，现今在微积分中的极限（limit）概念的形式定义（所谓（ε，δ）定义）是在1870年由德国数学家维尔斯特拉斯（Weierstrass）给出的，其一阶逻辑的定义如下：

              ∀ε>0 ∃δ >0 [ 0<</font>┃x─ a ┃< δ ⇒ 0<┃f(x) ─ L┃< ε ]       （1

在（！）式中，（函数f(x)的定义暂时省略），∀ε与∃δ是所谓的“限量词”，分别对变元ε与δ加以限定，使其均为正数，限量词”∀“表示所有（All），”∃“表示存在(Exist)，逻辑符号“⇒”表示逻辑蕴涵，而且L是一个常数。我们将(!)式改写成为如下形式：

                                 ∀ε>0 ∃δ >0 [P ⇒ Q]                    （2）

该表达式（2）的意思是：如果∀ε>0，则必定∃δ>0，使命题”P⇒ Q“为真，即由命题P可以导出命题Q。在这里，P代表0<</font>┃x─ a ┃< δ ，而Q代表0<┃f(x) ─ L┃< ε。

       在现今的微积分教科书中，如果（1）成立，则称函数F(x)在a处的极限为L，记为：

                                        lim f(x) = L （常数） (x ⇢ a )                  (3)

         我们要注意：在（3）式中，出现了一个新的表达式”x ⇢ a“，由此，麻烦就出来了。因为，表达式”x ⇢ a“暗示着”x 无限地趋近于a”的意思，但是，在极限定义的（1）式中，并不明显地包含着“无限地趋近于”这层意思。大约在1992年，美国国内出现一篇很有分量的署名文章，题为“Students’ Difficulties in Calculus”（“在微积分中大学生的困难”），该文作者明确指出了现今微积分教科书中的这一缺陷。什么”任意小的量“、”无限地趋近“，”愿意多小就多小“......种种糊涂的说法在微积分教科书中”遍地皆是“。这种非常糟糕的状况，导致美国大学生不能正确地掌握极限的基本概念（大约有一半），影响很坏，此处的原文是”...the 600 000 students taking college calculus in 1987, only 46% obtained a pass at grade D or above ”(参见：Anderson & Loftsgaarden, 1987)。因此，该文作者大声呼吁要进行所谓的”微积分改革运动“（“Reform movement”）。

         从根本上来说，问题究竟出在哪里呢？2008年，美国知名数理逻辑专家J. Keisler发表一篇重要学术论文，题为“Quantifiers in limits”(“极限论中的限量词”)，作者在文中明确指出：在现今极限论的（ε，δ）定义中真正的“难点”在于“限量词的复杂性“，比如：下述逻辑表达式

                                  ∀x ∃y ∀z [y ≤ z ⇒ x ≤ F (z)]            (4)

就是所谓的”限量词复杂性“的一种具体表现（”∀∃∀类型“），上述（4）式就是”当z趋于无穷大时，函数F(z)也趋于无穷大“的一阶逻辑的正确表达方式。对于这种复杂的多重限量词的用法，不是“糊涂蛋”的大学生也不会轻易掌握它。如果你不相信，令F(n)=n，试用限量词表达式来说明函数F(n)是无穷大（当n趋向于无穷大时）。这需要动一下脑筋。那么，我们该怎么办呢？出路何在？且听下回分解。