欧式几何的逻辑缺陷

欧几里德几何自诞生两千多年来，因其论证的严密性而被誉为完美无瑕。但到了19世纪，由于非欧几何的创立，大大提高了公理化方法，数学的严格性标准大为提高，从而欧几里德几何的逻辑缺陷逐渐暴漏出来了，具体将有以下几点：

1、   在欧式几何中用了重合法来证明全等：

在重合法中，首先使用了运动的概念，这样就定性了欧氏几何属于经验综合知识，他与人的经验有关，不属于纯粹知识。因此没有逻辑根据，他在证明中，移动图形，且默认为图形的性质不变，这在物理经验中是需要非常多的约束条件的，而欧几里德只是默认，并没严格的初始约束条件，因此逻辑上的严格性有问题。

2、  几何中的某些定义，不能自在自为自足，有时甚至使用未加定义的概念。而有些被定义的概念往往是多余的，含糊不清。 对一些不能定义的初始条件反而定义，甚至是不严格的定义。如：点、线、面等等初始概念就不应该定义，反而不严格的定义。

3、  引用从未提起过，且未被发觉的假定。

4、  证明不严格，许多定理的证明都依赖于感性直观，通过对图形的直观来证明。缺乏对直观与抽象的区别，过分依赖于感性直观。许多知识都是经验中的知识。

5、  在欧氏几何的五条初始公理中，第五公理（平行线公理）引来许多争议。在陈述上、内容上复杂、累赘。缺乏说服力，不自明。

对欧几里德几何的系统考究是由希尔伯特在《几何学基础》中完成的，他和欧几里的不同，对原始的初始概念：点、线、面不加定义，原始的关系也不加定义。他通过完善的初等几何公理，反映原始对象的原始关系。点、线、面在希尔伯特的逻辑分析中完全是非特定的，他认为这些东西都是用集合和关系的逻辑语言来表达的。所有的图形都是为了阐明逻辑。在集合的范围内，图形可以成为抽象概念。

希尔伯特将欧氏几何的严密性完全限制在：结合、顺序、合同、变换、平行。这个“五群公理”中来。“五群公理”的严密形式建立在体系的独立性、相容性、极小性、和完备性的要求上来的。同时也有逻辑上的严密性。

欧几里德几何的逻辑缺陷，再次证明了康德的观点：“数的定律和欧几里德德几何定律一样，即是先天的又是综合的，是一种‘直观的纯粹形式’的时间意识。”综合知识就有不可靠的地方，是个概然性概念。

当然康托尔集合论也受到罗素悖论的的打击。

最后用罗素的话来结束：“数学的所有定律，都能够仅仅从逻辑推导出来或者能够‘还原’为逻辑”。数学定理一定要经得起逻辑上的考验。